Алгебраическая независимость

Пусть константы ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \pi }$ известны как трансцендентные, однако неизвестно, является ли их множество алгебраически независимым над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[1] Неизвестно даже, иррационально ли ${\displaystyle \pi +e}$.^[2] Нестеренко доказал в 1996 году, что:

• числа ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle e^{\pi }}$ и ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ алгебраически независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$;^[3]
• числа ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {3}}}}$ и ${\displaystyle \Gamma (1/3)}$ алгебраически независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$;
• для всех положительных целых чисел ${\displaystyle n}$, число ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$ алгебраически независимы над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$;^[4]

Подмножество ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }};2\pi +1\}}$ поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не является алгебраически независимым над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, поскольку многочлен ${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}$ является нетривиальным с рациональными коэффициентами и ${\displaystyle P({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0}$.