Квадрат (алгебра)

Квадрат натурального числа ${\displaystyle n}$ можно представить в виде суммы первых ${\displaystyle n}$ нечётных чисел:

${\displaystyle 7^{2}=1+3+5+7+9+11+13=49}$

Другое представление — как сумма ${\displaystyle n}$ слагаемых, где каждое из чисел от 1 до ${\displaystyle n-1}$ берётся дважды, а ${\displaystyle n}$ — один раз:

${\displaystyle n^{2}=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n}$

Например:

${\displaystyle 4^{2}=1+1+2+2+3+3+4=16}$

Сумма квадратов первых ${\displaystyle n}$ натуральных чисел вычисляется по формуле: ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$.

Функция возведения в квадрат чётна: результат не зависит от знака числа:

${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$

Квадрат дроби равен отношению квадратов числителя и знаменателя:

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}},\quad b\neq 0}$

Формулы сокращённого умножения:

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}$ (разность квадратов)

Квадрат многочлена обобщает эти формулы на произвольное число слагаемых: квадрат суммы ${\displaystyle n}$ чисел равен сумме их квадратов плюс удвоенная сумма всех возможных попарных произведений:

${\displaystyle (a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}+2(a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+\ldots +a_{n-1}a_{n})}$

Обратная операция — извлечение квадратного корня: если ${\displaystyle x^{2}=a}$ при ${\displaystyle a\geq 0}$, то ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {a}}}$.

Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

${\displaystyle \left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.}$

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

${\displaystyle \left(r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\phi }\right).}$

График функции ${\displaystyle y=x^{2}}$ представляет собой параболу с вершиной в начале координат. Ветви параболы направлены вверх, кривая симметрична относительно оси ординат — это прямое следствие чётности функции возведения в квадрат (см. раздел «Свойства»). На промежутке ${\displaystyle (-\infty ;0]}$ функция убывает, на промежутке ${\displaystyle [0;+\infty )}$ возрастает; наименьшее значение функции равно нулю и достигается при ${\displaystyle x=0}$ (см. рисунок).

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.

Формула ${\displaystyle n^{2}=1+3+5+\ldots +(2n-1)}$, приведённая в разделе «Способы представления», получает геометрическое объяснение в пифагорейской арифметике фигурных чисел: квадрат ${\displaystyle n\times n}$ раскладывается на вложенные друг в друга Г-образные слои — гномоны, каждый следующий из которых на две клетки больше предыдущего (${\displaystyle 1,3,5,\ldots ,(2n-1)}$). Отсюда и историческое название чисел этой последовательности «квадратными»: фигура, полученная последовательным наращиванием гномонов, действительно принимает форму квадрата.

Геометрический смысл имеет и формула ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ из раздела «Свойства»: квадрат со стороной ${\displaystyle (a+b)}$ разбивается на квадрат со стороной ${\displaystyle a}$, квадрат со стороной ${\displaystyle b}$ и два прямоугольника со сторонами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$; сумма их площадей ${\displaystyle a^{2}+ab+ab+b^{2}}$ равна площади исходного квадрата ${\displaystyle (a+b)^{2}}$.

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ: Квадрат числа

Ключевые формулы:

• Квадрат суммы: ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$.
• Квадрат разности: ${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$.
• Разность квадратов: ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}$.

Свойства точного квадрата:

• Квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8.
• Квадрат целого числа при делении на 3 не может давать остаток 2; при делении на 4 — остаток 3; при делении на 9 — остатки 2, 3, 5, 6, 8.
• Если число оканчивается на 5, его квадрат оканчивается на 25.

Типичные ошибки:

• путают ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ и ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ (пропускают ${\displaystyle 2ab}$);
• забывают про знак «минус» в квадрате разности;
• применяют формулу разности квадратов к сумме квадратов;
• считают, что квадрат всегда положителен (для комплексных чисел это не так).

Совет: формулы сокращённого умножения — один из самых востребованных инструментов на экзамене. Учитесь «видеть» их в выражениях: например, ${\displaystyle x^{2}-6x+9}$ — это ${\displaystyle (x-3)^{2}}$.