6j-символ

6j-символ инвариантен относительно перестановки любой пары его столбцов:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}.}$

6j-символ также инвариантен при обмене местами верхних и нижних аргументов в любых двух столбцах:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

6j-символ

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

не равен нулю, только если ${\displaystyle j_{1}}$, ${\displaystyle j_{2}}$ и ${\displaystyle j_{3}}$ удовлетворяют условию треугольника, то есть,

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}.}$

Вместе со свойствами симметрии по отношению к обмену верхних и нижних аргументов это приводит к тому, что условиям треугольника должны удовлетворять также ${\displaystyle (j_{1},j_{5},j_{6})}$, ${\displaystyle (j_{4},j_{2},j_{6})}$, и ${\displaystyle (j_{4},j_{5},j_{3})}$.

Если ${\displaystyle j_{6}=0}$, то выражение для 6j-символа принимает вид

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{matrix}}\right\}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\Delta (j_{1},j_{2},j_{3}),}$

где функция ${\displaystyle \Delta (j_{1},j_{2},j_{3})}$ равна 1, если ${\displaystyle (j_{1},j_{2},j_{3})}$ удовлетворяют условию треугольника, и равна нулю в остальных случаях. Свойства симметрии позволяют найти выражения для случая, когда другой из ${\displaystyle j}$ равен нулю.

6j-символы удовлетворяют следующему соотношению ортогональности:

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}\Delta (j_{1},j_{5},j_{6})\Delta (j_{4},j_{2},j_{6}).}$

6j-символы могут быть выражены в явном виде различными способами:

• в виде конечных сумм,
• через R-символ (формула Баргмана),
• через обобщённые гипергеометрические функции,
• через 3j-символы,
• в виде квазибиномов,
• в виде интегралов от характеров представлений группы вращений.

В качестве примера приведём выражение для 6j-символов в виде конечных сумм:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{Bmatrix}}=(-1)^{a+c+d+f}{\frac {\Delta (abc)\Delta (bdf)}{\Delta (aef)\Delta (cde)}}\times }$

${\displaystyle \quad \times \sum _{n}(-1)^{n}{\frac {(a-b+d+e-n)!(-b+c+e+f-n)!(a+c+d+f+1-n)!}{n!(a-b+c-n)!(-b+d+f-n)!(a+e+f+1-n)!(c+d+e+1-n)!}},}$

где суммирование ведётся по всем n, при которых под знаком факториала стоят неотрицательные выражения.