Эллиптические гипергеометрические ряды

Символ q-Похгаммера определяется как:

${\displaystyle \displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}).}$

${\displaystyle \displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$

Модифицированная тета-функция Якоби с аргументом x и номом p определяется как:

${\displaystyle \displaystyle \theta (x;p)=(x,p/x;p)_{\infty }}$

${\displaystyle \displaystyle \theta (x_{1},...,x_{m};p)=\theta (x_{1};p)...\theta (x_{m};p)}$.

Эллиптический сдвинутый факториал определяется как:

${\displaystyle \displaystyle (a;q,p)_{n}=\theta (a;p)\theta (aq;p)...\theta (aq^{n-1};p)}$

${\displaystyle \displaystyle (a_{1},...,a_{m};q,p)_{n}=(a_{1};q,p)_{n}\cdots (a_{m};q,p)_{n}}$.

Тета-гипергеометрический ряд _{r +1} E _r определяется как:

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}E_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r+1};q;p)_{n}}{(q,b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}}$.

Очень хорошо сбалансированный тета-гипергеометрический ряд _{r +1} V _r определяется как:

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}V_{r}(a_{1};a_{6},a_{7},...a_{r+1};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\theta (a_{1}q^{2n};p)}{\theta (a_{1};p)}}{\frac {(a_{1},a_{6},a_{7},...,a_{r+1};q;p)_{n}}{(q,a_{1}q/a_{6},a_{1}q/a_{7},...,a_{1}q/a_{r+1};q,p)_{n}}}(qz)^{n}}$.

Двусторонний тета-гипергеометрический ряд _r G _r определяется как:

${\displaystyle \displaystyle {}_{r}G_{r}(a_{1},...a_{r};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r};q;p)_{n}}{(b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}}$.

Эллиптические числа определяются как:

${\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]={\frac {\theta _{1}(\pi \sigma a,e^{\pi i\tau })}{\theta _{1}(\pi \sigma ,e^{\pi i\tau })}}}$,

где тета-функция Якоби определяется как:

${\displaystyle \theta _{1}(x,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}e^{(2n+1)ix}}$.

Аддитивные эллиптические сдвинутые факториалы определяются как:

• ${\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]_{n}=[a;\sigma ,\tau ][a+1;\sigma ,\tau ]...[a+n-1;\sigma ,\tau ]}$
• ${\displaystyle [a_{1},...,a_{m};\sigma ,\tau ]=[a_{1};\sigma ,\tau ]...[a_{m};\sigma ,\tau ]}$.

Аддитивный тета-гипергеометрический ряд _{r +1} e _r определяется как:

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}e_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1},...,a_{r+1};\sigma ;\tau ]_{n}}{[1,b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}$.

Аддитивный очень хорошо сбалансированный тета-гипергеометрический ряд _{r +1} v _r определяется как:

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}v_{r}(a_{1};a_{6},...a_{r+1};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1}+2n;\sigma ,\tau ]}{[a_{1};\sigma ,\tau ]}}{\frac {[a_{1},a_{6},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,1+a_{1}-a_{6},...,1+a_{1}-a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}$.