Элементарные и составные высказывания

• Элементарные высказывания — высказывания, которые не содержат логических связок и не могут быть разделены на более простые высказывания. Они являются неделимыми единицами логики.

 * Пример: ${\displaystyle 5<7}$.

• Составные высказывания — высказывания, построенные из нескольких элементарных высказываний с использованием логических связок.

 * Пример: «Если ${\displaystyle 5<7}$, то ${\displaystyle 5}$ — чётное число».

Составные высказывания образуются с помощью следующих логических связок:

• Отрицание (НЕ, символ ${\displaystyle \lnot }$): меняет значение истинности высказывания на противоположное.

 * Формула: ${\displaystyle \lnot A}$.

• Конъюнкция (И, символ ${\displaystyle \land }$): истинна, если оба высказывания истинны.

 * Формула: ${\displaystyle A\land B}$.

• Дизъюнкция (ИЛИ, символ ${\displaystyle \lor }$): истинна, если хотя бы одно из высказываний истинно.

 * Формула: ${\displaystyle A\lor B}$.

• Импликация (ЕСЛИ... ТО, символ ${\displaystyle \rightarrow }$): ложна только в случае, когда первое высказывание истинно, а второе ложно.

 * Формула: ${\displaystyle A\rightarrow B}$.

• Эквиваленция (ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА, символ ${\displaystyle \leftrightarrow }$): истинна, когда оба высказывания имеют одинаковое значение истинности.

 * Формула: ${\displaystyle A\leftrightarrow B}$.

Таблицы истинности показывают, как значение составного высказывания зависит от значений входящих в него элементарных высказываний.

A	B	${\displaystyle A\land B}$
Истина	Истина	Истина
Истина	Ложь	Ложь
Ложь	Истина	Ложь
Ложь	Ложь	Ложь

A	B	${\displaystyle A\lor B}$
Истина	Истина	Истина
Истина	Ложь	Истина
Ложь	Истина	Истина
Ложь	Ложь	Ложь

1. Отрицание:

  * Элементарное высказывание: «Сегодня идёт дождь» (${\displaystyle A}$).
  * Отрицание: «Сегодня НЕ идёт дождь» (${\displaystyle \lnot A}$).

2. Импликация:

  * «Если сегодня воскресенье, то завтра понедельник» (${\displaystyle A\rightarrow B}$).

3. Эквиваленция:

  * «Число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно чётное» (${\displaystyle A\leftrightarrow B}$).

Понимание элементарных и составных высказываний является фундаментом логического мышления и математических доказательств. Элементарные высказывания служат базовыми блоками, из которых с помощью логических связок строятся составные высказывания. Знание логических связок и умение использовать таблицы истинности позволяют анализировать сложные логические конструкции и устанавливать их истинность.