Число отрезков

Наименьшее число отрезков для нетривиального узла равно ${\displaystyle 6}$. Число отрезков, как и прочие меры сложности узлов, трудновычислимы, поэтому известно не так много точных значений^[3]. В 1997 году Гё Тэк Чин определил^[4] число отрезков торического узла ${\displaystyle {\textrm {T}}(p,q)}$ для близких ${\displaystyle p\,{\text{и}}q}$:

• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(p,q))=2q}$, если ${\displaystyle 2\leqslant p<q\leqslant 2p}$,
• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,r))=3r}$, если ${\displaystyle r\geqslant 1}$,
• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,2r))=4r-1}$, если ${\displaystyle r\geqslant 1}$.

Подобный результат, но для меньшей области параметров, примерно в то же время независимо получила исследовательская группа, возглавляемая Колином Адамсом^[5]. Им, например, удалось доказать, что:

• ${\displaystyle {\textrm {stick}}({\textrm {T}}(r,r-1))=2r}$, если ${\displaystyle r\geqslant 2}$.

Если ${\displaystyle K^{n}}$ — произвольная связная сумма, состоящая из ${\displaystyle n}$ трилистников (не обязательно только левых или только правых), то^[5]:

${\displaystyle {\text{stick}}(K^{n})=2n+4}$.

Число отрезков связной суммы узлов ограничено сверху суммой чисел отрезков слагаемых, а более точно^[4][5]:

${\displaystyle {\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leqslant {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3}$.

Если ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$ — взаимно простые целые числа, причем ${\displaystyle 2\leqslant r<s}$, то^[4]:

${\displaystyle {\text{stick}}({\textrm {T}}(r,s))\geqslant {\text{min}}\{4r,2s\}}$.

Число отрезков узла ${\displaystyle K}$ связано с его числом перекрёстков ${\displaystyle {\textrm {cr}}(K)}$ следующим неравенством^[6][7][8]:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,{\textrm {cr}}(K)+1}})\leqslant {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}({\textrm {cr}}(K)+1)}$.