Числа эпсилон

Числа эпсилон — ординалы, введенные немецким математиком Гергом Кантором и являющиеся неподвижными точками функции ${\displaystyle f(\alpha )=\omega ^{\alpha },}$ то есть удовлетворяющие равенству ${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon },}$ где ${\displaystyle \omega }$ — первый трансфинитный ординал. Числа эпсилон могут быть определены следующим образом (как супремумы трансфинитных последовательностей):

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},...\};}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}}},...\};}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\sup\{\varepsilon _{\beta }|\beta <\alpha \}}$ для предельного ординала ${\displaystyle \alpha .}$

Наименьший ординал, который является неподвижной точкой функции ${\displaystyle f(\alpha )=\varepsilon _{\alpha },}$ называется ординалом Кантора и обозначается как ${\displaystyle \zeta _{0}.}$

${\displaystyle \zeta _{0}=\sup\{0,\varepsilon _{0},\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}},\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{0}}}},...\}.}$

Впоследствии, в 1908 году, Освальд Веблен разработал более мощную ординальную нотацию — иерархию функций ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$. В соответствии с нотацией Веблена ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\varphi _{1}(\alpha )}$.