Циклические координаты

Рассматривая произвольную механическую систему с голономными связями между её частями постулируют наличие в ней ${\displaystyle f}$ степеней свободы. Для определения мгновенного положения системы можно ввести ${\displaystyle f}$ независимых координат^[2]:

${\displaystyle q_{1},q_{2},...q_{f}.}$ (1)

Такие координаты называются обобщёнными (циклическими).

Используя набор из таки ${\displaystyle f}$ независимых координат получают набор обобщённых скоростей:

${\displaystyle {\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},...{\dot {q_{f}}}.}$ (2)

Совокупность обобщённых координат и скоростей ${\displaystyle \{q_{k},{\dot {q_{k}}}\}}$ будет полностью описывать мгновенное состояние этой механической системы.

Рассматривая функцию Лагранжа как функцию от обобщённых координат и скоростей ${\displaystyle q_{k}}$ и ${\displaystyle {\dot {q_{k}}}}$ и времени ${\displaystyle t}$, для каждого ${\displaystyle k}$-го индекса получим:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0.}$ (3)

Это общее уравнение Лагранжа (или уравнение Лагранжа второго рода), используемое для систем с потенциальными силами и голономными связями между частями этих систем.

Введённые циклические координаты при использовании уравнений наподобие Лагранжа позволяют получить столько же интегралов этих уравнений, сколько в данной системе содержится циклических координат.