Центральная проекция

Пусть дана плоскость ${\displaystyle \alpha }$ и точка ${\displaystyle S}$, не лежащая в этой плоскости. Точка ${\displaystyle S}$ называется центром проекции, а плоскость ${\displaystyle \alpha }$ — плоскостью проекций^[1]. Для точки ${\displaystyle M}$ пространства проводят прямую ${\displaystyle SM}$; если она пересекает плоскость ${\displaystyle \alpha }$ в единственной точке ${\displaystyle M'}$, то ${\displaystyle M'}$ называется центральной проекцией точки ${\displaystyle M}$ на ${\displaystyle \alpha }$^[1].

Проектирующая прямая ${\displaystyle SM}$ содержит все точки пространства, которые при данном центре и данной плоскости имеют тот же образ ${\displaystyle M'}$^[2]. Поэтому центральное проектирование всего трёхмерного пространства на плоскость не является взаимно-однозначным отображением: различные точки одной проектирующей прямой могут иметь одну и ту же проекцию^[1].

Если точка ${\displaystyle M}$ лежит в плоскости, проходящей через ${\displaystyle S}$ параллельно ${\displaystyle \alpha }$, то прямая ${\displaystyle SM}$ параллельна плоскости проекций и конечной точки пересечения с ней не имеет^[1]. В аффинной геометрии центральная проекция такой точки не определена; в проективной геометрии это затруднение устраняется введением бесконечно удалённых точек^[1].

Чтобы построить центральную проекцию точки ${\displaystyle A}$, необходимо соединить её с центром ${\displaystyle S}$ и найти точку ${\displaystyle A'=SA\cap \alpha .}$^[1]

Проекцией геометрической фигуры называют множество проекций её точек, для которых проектирование определено^[1]. Для многоугольника можно спроектировать его вершины и затем провести образы рёбер по проекциям соответствующих прямых, если эти прямые не проходят через центр проекции и их конечные проекции определены^[2].

Если прямая ${\displaystyle l}$ не проходит через центр ${\displaystyle S}$, то ${\displaystyle l}$ и ${\displaystyle S}$ определяют плоскость. Когда эта плоскость пересекает плоскость проекций ${\displaystyle \alpha }$ по конечной прямой ${\displaystyle l'}$, все определённые проекции точек ${\displaystyle l}$ лежат на ${\displaystyle l'}$^[1]. Если же исходная прямая проходит через центр ${\displaystyle S}$ и пересекает ${\displaystyle \alpha }$, все её проектируемые точки, кроме самого центра, переходят в одну и ту же точку плоскости проекций^[1]. Поэтому утверждение «прямая проектируется в прямую» требует исключения этого вырожденного случая^[1].

Рассмотрим систему координат, в которой центр проекции совпадает с началом координат ${\displaystyle S=(0,0,0),}$ а плоскость проекций задаётся уравнением ${\displaystyle z=d,\qquad d\neq 0.}$ Для точки ${\displaystyle M=(x,y,z),\qquad z\neq 0,}$ прямая ${\displaystyle SM}$ имеет параметрическое представление ${\displaystyle (tx,ty,tz)}$. Из условия ${\displaystyle tz=d}$ получается ${\displaystyle t=d/z}$, поэтому центральная проекция имеет координаты^[3]: ${\displaystyle M'=\left({\frac {dx}{z}},{\frac {dy}{z}},d\right).}$

Формула является координатной записью идеальной центральной проекции^[3]. При фиксированных ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle x/z}$ и ${\displaystyle y/z}$ определяют положение изображения; для объектов одинакового размера, расположенных дальше от центра проекции вдоль одного направления, угловой и линейный размер изображения уменьшается^[3].

Если плоскость изображения условно отождествить с двумерной системой координат, то координаты проекции можно записать как ${\displaystyle x'={\frac {d}{z}}x,\qquad y'={\frac {d}{z}}y.}$^[3]

Центральное проектирование сохраняет принадлежность точки прямой в тех случаях, когда проекции соответствующих объектов определены^[1]. Если точка ${\displaystyle A}$ лежит на прямой ${\displaystyle l}$, то её проекция ${\displaystyle A'}$ лежит на проекции этой прямой^[1].

При этом центральная проекция в общем случае не сохраняет длины, величины углов и параллельность^[3]. Поэтому равные отрезки могут иметь проекции различной длины, изображение прямого угла может не быть прямым, а изображения параллельных прямых одного пространственного направления могут пересекаться в точке схода^[3].

В проективной постановке центральное проектирование между плоскостями является проективным отображением; для четырёх коллинеарных точек сохраняется их двойное отношение^[1]. Обычные отношения длин при произвольной центральной проекции не являются инвариантом^[1].

При центральном проектировании все проектирующие прямые проходят через одну точку ${\displaystyle S}$^[2]. При параллельном проектировании проектирующие прямые имеют общее направление и параллельны друг другу^[4].

Параллельное проектирование сохраняет параллельность проекций параллельных прямых, если они не вырождаются в одну прямую или точку, и сохраняет отношения отрезков на одной прямой или на параллельных прямых^[4]. Для центральной проекции эти свойства в общем случае неверны^[3].

В школьной стереометрии для изображения пространственных фигур на плоскости преимущественно используется параллельное проектирование^[5]. Центральное проектирование имеет иное назначение: оно непосредственно описывает перспективное изображение объекта с заданной точки наблюдения^[2].

Перспектива является геометрическим применением центрального проектирования, в котором центр проекции моделирует положение глаза наблюдателя или центр идеализированной камеры, а плоскость проекций — картинную плоскость либо плоскость изображения^[3]. В работе Анатолия Ивановича Коротаева и Вячеслава Ивановича Кузовлева фотографическое изображение моделируется центральной проекцией пространственного объекта на картинную плоскость^[2]. Для реальной камеры такая модель является приближением: оптика может вносить геометрические искажения, не описываемые идеальной центральной проекцией^[6].

Параллельные в пространстве прямые одного направления при перспективном изображении могут сходиться к общей точке схода, если их направление не параллельно картинной плоскости^[3]. Если направление этих прямых параллельно плоскости изображения, их конечные проекции остаются параллельными^[3].

Особенно важный для школьной стереометрии случай возникает, когда центральное проектирование из точки ${\displaystyle S}$ выполняется между двумя параллельными плоскостями^[7]. Если ${\displaystyle S}$ — вершина пирамиды, а плоскость ${\displaystyle \beta }$, параллельная основанию ${\displaystyle \alpha }$, пересекает боковые рёбра, то сечение является центральной проекцией основания на ${\displaystyle \beta }$ вдоль прямых, проходящих через вершину ${\displaystyle S}$^[7].

В этом случае центральная проекция между параллельными плоскостями является гомотетией с центром ${\displaystyle S}$^[8]. Если секущая плоскость расположена между вершиной и основанием, расстояние от вершины ${\displaystyle S}$ до плоскости сечения равно ${\displaystyle h}$, а до плоскости основания — ${\displaystyle H}$, то коэффициент подобия сечения основанию равен ${\displaystyle k={\frac {h}{H}},\qquad 0<k<1.}$^[7]

Поэтому для соответствующих линейных размеров выполняется ${\displaystyle {\frac {L_{\text{сеч}}}{L_{\text{осн}}}}={\frac {h}{H}},}$ а для площадей ${\displaystyle {\frac {S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}}}=\left({\frac {h}{H}}\right)^{2}.}$^[7]

Для объёма меньшей пирамиды с той же вершиной и основанием в параллельном сечении справедливо ${\displaystyle {\frac {V_{\text{мал}}}{V_{\text{полн}}}}=\left({\frac {h}{H}}\right)^{3}.}$^[9].

Такое применение центрального проектирования объясняет, почему основания усечённой пирамиды являются подобными многоугольниками^[10].

Центральное проектирование применяется в компьютерном зрении, фотограмметрии, компьютерной графике и задачах трёхмерной реконструкции^[2]. Анатолий Иванович Коротаев и Вячеслав Иванович Кузовлев рассматривают определение параметров трёхмерных объектов по двум фотографическим центральным проекциям и используют матричное представление преобразований^[2].

В исследовании Елизаветы Николаевны Пузыревой центральное проектирование рассматривается как одно из преобразований, участвующих в формировании наглядно-образной модели геометрического пространства; в предложенной автором классификации пирамиды связываются с центральным проектированием, а призмы — с параллельным^[11].

В начертательной геометрии центральное и параллельное проектирование относятся к основным способам получения изображений пространственных объектов^[12]. Авторы приводят классификацию видов проецирования, в которой прямолинейное проецирование подразделяется на центральное и параллельное^[12].

Методические исследования подготовки к профильному ЕГЭ подчёркивают значение пространственного мышления, корректного выбора плоскости изображения и понимания понятия проекции при решении стереометрических задач^[13]. Марина Юрьевна Пермякова и Елена Алексеевна Коптеева отдельно отмечают, что наглядный и корректно построенный стереометрический чертёж является существенным этапом решения пространственной задачи^[14].

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ

Сам термин «центральная проекция» ФИПИ не выделяет как отдельный обязательный элемент содержания этих заданий^[15]. Поэтому статья полезна для ЕГЭ прежде всего как теоретическая основа пространственного представления и как объяснение подобия параллельных сечений пирамиды, а не как самостоятельная экзаменационная тема^[13].

Для задач на пирамиду наиболее полезен частный случай: плоскость сечения параллельна основанию. Тогда малая пирамида с общей вершиной подобна исходной, и если расстояния от вершины до секущей плоскости и основания равны соответственно ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle H}$, то ${\displaystyle k={\frac {h}{H}},}$ ${\displaystyle {\frac {S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}}}=\left({\frac {h}{H}}\right)^{2},}$ ${\displaystyle {\frac {V_{\text{мал}}}{V_{\text{полн}}}}=\left({\frac {h}{H}}\right)^{3}.}$^[7][9]

Например, если высота пирамиды равна 16, а параллельное основанию сечение находится на расстоянии 5 от вершины, то ${\displaystyle k={\frac {5}{16}}}$ и ${\displaystyle {\frac {S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}}}={\frac {25}{256}}.}$^[7]

Для задания 14 важно понимать различие между пространственной фигурой и её чертежом на плоскости. В школьной стереометрии наглядные изображения обычно строятся по принципам параллельного проектирования, поэтому изображение не обязано сохранять реальные углы и длины пространственной фигуры^[5][14]. Следовательно, длины и углы в задаче нельзя определять измерением по рисунку; они должны выводиться из условий, теорем и вычислений^[15].

Изучение центральной проекции полезно дополнительно для понимания того, почему перспективный рисунок и обычный стереометрический чертёж подчиняются различным правилам. При центральной проекции параллельные прямые могут иметь сходящиеся изображения, тогда как школьный чертёж многогранника обычно строится с сохранением параллельности соответствующих параллельных рёбер^[3][5].

Типичные ошибки:

• считать, что центральная проекция сохраняет длины или углы^[3];
• считать, что любые параллельные прямые обязательно остаются параллельными при центральном проектировании^[3];
• переносить перспективные свойства центральной проекции на школьный чертёж, построенный по правилам параллельного проектирования^[5];
• применять формулу ${\displaystyle k=h/H}$ к произвольному сечению пирамиды: она в указанном виде относится к сечению плоскостью, параллельной основанию^[7].