Хеммингова сфера

Сферы Хемминга для двоичного двумерного векторного пространства с центрами в различных точках (отмечены чёрным). Сферам принадлежат точки, отмеченные чёрным и зелёным. Точки, отмеченные белым не принадлежат сферам. В каждом из примеров сферам принадлежит ровно три точки (вектора).

Хеммингова сфера ${\displaystyle S_{t}\left({\vec {v}}\right)}$ радиуса ${\displaystyle t}$ c центром в точке ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — множество всех векторов (точек) в двоичном векторном пространстве ${\displaystyle V_{2}}$ на расстоянии не более ${\displaystyle t}$ от заданного вектора ${\displaystyle {\vec {v}}}$:

${\displaystyle S_{t}\left({\vec {v}}\right)=\left\{{\vec {x}}\in C|d_{H}\left({\vec {x}},{\vec {v}}\right)\leq t\right\}}$

Если размерность двоичного векторного пространства ${\displaystyle V_{2}}$ равна ${\displaystyle n}$, то количество точек (векторов), принадлежащих сфере ${\displaystyle S_{t}\left({\vec {v}}\right)}$ равно:

${\displaystyle \left|{S_{t}\left({\vec {v}}\right)}\right|=\sum \limits _{i=0}^{t}{\binom {n}{i}}}$