Функция Ангера

Функция Ангера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{\frac {df}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})f=(z-\nu ){\frac {\sin(\pi \nu )}{\pi }}}$

Интегральное выражение функции Ангера:

${\displaystyle {\mathsf {J}}_{\nu }(z)={\mathsf {J}}_{\nu ,0}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\cdot \sin \theta )d\theta }$

где ${\displaystyle {\mathsf {J}}_{\nu ,0}(z)}$ — функция Бурже.

При целых ${\displaystyle \nu }$ функция Ангера совпадает с функцией Бесселя. Поэтому часто при определении функции Бесселя даётся укороченный интеграл, идентичный функции Ангера. На самом деле, при нецелых ${\displaystyle \nu }$ между ними есть разница:

${\displaystyle {\mathsf {J}}_{\nu }(z)-J_{\nu }(z)={\frac {\sin \nu \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp(-\nu \theta -z\cdot \mathrm {sh} \theta )d\theta }$

Соотношение с функцией Вебера:

${\displaystyle {\mathsf {J}}_{\nu }(z)\cdot \sin(\pi \nu )={\mathsf {E}}_{\nu }(z)\cdot \cos(\pi \nu )-{\mathsf {E}}_{-\nu }(z)}$