Функция, способы задания функции

• Аргумент функции — независимая переменная ${\displaystyle x}$.
• Зависимая переменная (функция) — переменная ${\displaystyle y}$ является функцией от переменной ${\displaystyle x}$.

• Значения функции — значения зависимой переменной ${\displaystyle y}$, соответствующие заданным значениям независимой переменной ${\displaystyle x}$. Обозначают ${\displaystyle y=f(x)}$. В записи такого вида вместо буквы ${\displaystyle f}$ употребляют и другие буквы: ${\displaystyle {\text{g}},\varphi }$ и т. п. ^[2].
• Задать функцию — указать правило, которое позволяет по произвольно выбранному значению ${\displaystyle x}$ найти значение ${\displaystyle y}$.
• Область определения функции ${\displaystyle D(f)}$— множество всех допустимых значений аргумента, для которых функция определена.

• Область значений функции ${\displaystyle E(f)}$ — множество всех значений ${\displaystyle y}$, которые принимает функция при всех допустимых значениях аргумента.

Функция ${\displaystyle y=f(x)}$ считается заданной, если указана область определения функции и правило, согласно которому каждому значению независимой переменной поставлено в соответствие единственное значение зависимой переменной.

Функция задаётся с помощью формулы, которая выражает зависимость между аргументом и значением функции.

Линейная функция ${\displaystyle y=kx+b}$. Пример: ${\displaystyle f(x)=2x+5}$

Квадратичная функция ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,a\neq 0}$. Пример: ${\displaystyle f(x)=x^{2}+3x-5}$

Для указанных выше функций значение аргумента может быть любым действительным числом. То есть область определения этих функций — множество всех действительных чисел. Говорят: «Функция определена на множестве действительных чисел».

Функция вида  ${\displaystyle y={\frac {k}{x}}}$. Функция определена при ${\displaystyle x\neq 0}$, т. е. область определения этой функции — множество всех действительных чисел, отличных от нуля.

Функция вида  ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$. Аргумент этой функции может принимать только неотрицательные значения: ${\displaystyle x\geqslant 0}$, т.е. функция определена на
множестве всех неотрицательных чисел.

Если функция задана формулой, то принято считать, что она определена при всех тех значениях аргумента, при которых эта формула имеет смысл, т. е. выполнимы все действия, указанные в выражении, стоящем в правой части формулы^[3].

Функция задаётся таблицей значений, где перечислены значения аргумента и соответствующие им значения функции.

Пример^[4]:

Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице (буквой ${\displaystyle N}$ обозначен номер зоны, а буквой ${\displaystyle m}$ — стоимость проезда в рублях). По этой таблице для каждого значения ${\displaystyle N}$ можно найти соответствующее значение ${\displaystyle m}$. В этом случае ${\displaystyle N}$ является независимой переменной, а ${\displaystyle m}$ — функцией.

${\displaystyle N}$	1	2	3	4	5
${\displaystyle m}$, (руб)	104	130	156	182	205

Функция представляется графиком на координатной плоскости, где по оси абсцисс откладываются значения аргумента ${\displaystyle x}$, а по оси ординат — соответствующие значения функции ${\displaystyle y}$.

Пример: График зависимости температуры жидкости от полученного или отданного количества теплоты. (Рис.1)

Рис.1

Функция описывается словесно, используя естественный язык.

Пример^[4]:

Каждому натуральному числу ${\displaystyle n}$ ставится в соответствие остаток ${\displaystyle r}$ от деления этого числа на 4. В этой функциональной зависимости аргументом является число ${\displaystyle n}$, а функцией — ${\displaystyle r}$.

Понимание функций и способов их задания является ключевым в изучении математики. Различные способы задания функций — аналитический, табличный, графический и словесный — позволяют описывать и анализировать разнообразные зависимости. Владение этими методами важно для решения математических задач и применения их в практических ситуациях.