Формула поворота Родрига

Без потери общности, направим ось ${\displaystyle {\vec {z}}}$ вдоль единичного вектора ${\displaystyle {\vec {e}}}$, а вектор ${\displaystyle {\vec {R}}_{1}}$ — лежащим в плоскости OXZ, тогда:

${\displaystyle {\vec {R}}_{1x}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{1z}}$

${\displaystyle {\vec {R}}_{1y}=0}$

${\displaystyle {\vec {R}}_{1z}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}}$

Откуда:

${\displaystyle {\vec {R}}_{1x}={\vec {R}}_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}}$

Положим вектор ${\displaystyle {\vec {w}}}$, равный:

${\displaystyle {\vec {w}}={\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1}}$

Заметим, что:

${\displaystyle |{\vec {w}}|=|{\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1}|=|{\vec {e}}|\,|{\vec {R}}_{1}|\sin \phi \ =|{\vec {R}}_{1}|\sin \phi }$

${\displaystyle |{\vec {R}}_{1x}|=|{\vec {R}}_{1}|\cos(\pi /2-\phi )=|{\vec {R}}_{1}|\sin \phi .}$

Тогда вектор ${\displaystyle {\vec {R}}_{2x}}$ можно выразить через векторы ${\displaystyle {\vec {w}}}$ и ${\displaystyle {\vec {R}}_{1x}}$ и угол ${\displaystyle \chi }$:

${\displaystyle {\vec {R}}_{2x}={\vec {R}}_{1x}\cos \chi +{\vec {w}}\sin \chi =({\vec {R}}_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}})\cos \chi +({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi }$

Результирующий вектор ${\displaystyle {\vec {R}}_{2}}$ выражается через векторы ${\displaystyle {\vec {R}}_{2x}}$ и ${\displaystyle {\vec {R}}_{1z}}$:

${\displaystyle {\vec {R}}_{2}={\vec {R}}_{2x}+{\vec {R}}_{1z}=({\vec {R}}_{1}-({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}})\cos \chi +({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi +({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1}){\vec {e}}}$

Приведя подобные, получим формулу поворота Родрига:

${\displaystyle {\vec {R}}_{2}=({\vec {e}}\cdot {\vec {R}}_{1})(1-\cos \chi ){\vec {e}}+({\vec {e}}\times {\vec {R}}_{1})\sin \chi +{\vec {R}}_{1}\cdot \cos \chi }$

Векторное умножение на вектор k можно представить в виде умножения на матрицу K:

${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{x}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{y}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{y}v_{z}-k_{z}v_{y}\\k_{z}v_{x}-k_{x}v_{z}\\k_{x}v_{y}-k_{y}v_{x}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}=\mathbf {K} \mathbf {v} \,.}$

Вектор v при повороте вокруг единичного вектора k перейдёт в вектор

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )\mathbf {K} \mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} =\mathbf {R} \mathbf {v} \,,}$

где ${\displaystyle \mathbf {K} (\mathbf {K} \mathbf {v} )=\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} =\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\,.}$

Таким образом получается, что матрица поворота вокруг единичного вектора k на угол ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}~.}$

где

${\displaystyle \mathbf {K} =\left[{\begin{array}{ccc}0&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\end{array}}\right]~.}$