Формула Эйлера (дифференциальная геометрия)

Названа в честь Леонарда Эйлера, который доказал её в 1760 году^[1].

Пусть ${\displaystyle \Phi }$ есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве.

Пусть ${\displaystyle p}$ — точка ${\displaystyle \Phi ,}$ ${\displaystyle T_{p}}$ — касательная плоскость к ${\displaystyle \Phi }$ в точке ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle n}$ — единичная нормаль к ${\displaystyle \Phi }$ в точке ${\displaystyle p,}$ а ${\displaystyle \pi _{e}}$ — плоскость, проходящая через ${\displaystyle n}$ и некоторый единичный вектор ${\displaystyle e}$ в ${\displaystyle T_{p}}$.

Кривая ${\displaystyle \gamma _{e},}$ получающаяся как пересечение плоскости ${\displaystyle \pi _{e}}$ с поверхностью ${\displaystyle \Phi ,}$ называется нормальным сечением поверхности ${\displaystyle \Phi }$ в точке ${\displaystyle p}$ в направлении ${\displaystyle e.}$ Величина

${\displaystyle \kappa _{e}=k\cdot n}$

где ${\displaystyle \cdot }$ обозначает скалярное произведение, а ${\displaystyle k}$ — вектор кривизны ${\displaystyle \gamma _{e}}$ в точке ${\displaystyle p}$, называется нормальной кривизной поверхности ${\displaystyle \Phi }$ в направлении ${\displaystyle e}$. С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой ${\displaystyle \gamma _{e}}$.

В касательной плоскости ${\displaystyle T_{p}}$ существуют два перпендикулярных направления ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

${\displaystyle \kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha }$

где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между этим направлением и ${\displaystyle e_{1}}$, a величины ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$ нормальные кривизны в направлениях ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$, они называются главными кривизнами, а направления ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ — главными направлениями поверхности в точке ${\displaystyle p}$.

Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн.

Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.