Формула Планка (ЕГЭ-ОГЭ)

Фо́рмула Пла́нка (зако́н Пла́нка) — представляет собой выражение для спектральной плотности излучения, испускаемого абсолютно чёрным телом при заданной температуре. Макс Планк предложил его в 1900 году, и данный результат стал ключевым этапом в развитии квантовой физики.

Формула Планка определяет спектральную плотность энергетической яркости излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от частоты (${\displaystyle \nu }$) и температуры (${\displaystyle T}$):

${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\cdot {\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}}$,

где:

• ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка,
• ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме,
• ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана.

Аналогично через длину волны (${\displaystyle \lambda }$):

${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}\cdot {\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}}$.

С помощью этих выражений демонстрируется зависимость интенсивности излучения от частоты или длины волны при фиксированной температуре.

Закон Планка описывает излучение идеального абсолютно чёрного тела — системы, полностью поглощающей и испускающей электромагнитное излучение на всех частотах. Его применяют для расчёта спектрального распределения излучения тел в термодинамическом равновесии.

В практических условиях тела излучают иначе, однако закон Планка остаётся фундаментальным для понимания теплового излучения. Для описания излучения реальных объектов вводят понятия:

• Эффективная температура — температура абсолютно чёрного тела, излучающего такое же суммарное количество энергии.
• Яркостная температура — температура абсолютно чёрного тела, испускающего одинаковую интенсивность на определённой длине волны.
• Цветовая температура — температура абсолютно чёрного тела, спектр излучения которого максимально близок к спектру данного объекта.

К концу XIX века экспериментальные данные о спектре излучения абсолютно чёрного тела не согласовывались с существовавшими теоретическими моделями. Вин предложил закон, верный для коротковолнового диапазона, но расходящийся с наблюдениями на больших длинах волн.

В 1900 году Макс Планк вывел формулу, которая точно описывала спектральное распределение во всём диапазоне длин волн. Для этого он предположил, что энергия излучаемого поля дискретизирована и передаётся квантами величины ${\displaystyle E=h\nu }$. Эта гипотеза стала фундаментом квантовой физики.

Планк исходил из того, что излучатели (осцилляторы) обладают лишь дискретными уровнями энергии. Применив распределение Больцмана и методы статистической физики, он вывел среднюю энергию осциллятора:

${\displaystyle \langle \varepsilon \rangle ={\frac {h\nu }{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}}$.

Вставив это выражение в формулу для спектральной плотности, он получил свой закон.

Закон Планка при различных приближениях переходит в другие классические законы:

• **Закон Рэлея — Джинса**: в области больших длин волн (${\displaystyle \lambda }$) и при высоких температурах закон Планка сводится к закону Рэлея — Джинса:

 ${\displaystyle B_{\lambda }={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}}$.

• **Закон излучения Вина**: при малых длинах волн и высоких частотах он переходит в закон Вина:

 ${\displaystyle B_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda kT}}}}$.

• **Закон Стефана — Больцмана**: интегрирование закона Планка по всем частотам приводит к соотношению:

 ${\displaystyle F=\sigma T^{4}}$,
 
 где ${\displaystyle \sigma }$ — постоянная Стефана — Больцмана.

• **Закон смещения Вина**: закон Планка объясняет зависимость длины волны максимума излучения от температуры:

 ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}T=b}$,
 
 где ${\displaystyle b}$ — постоянная Вина.

Закон Планка стал переломным моментом в физике, показав, что классические представления не способны полностью описать явления микромира. Введение квантов энергии стало основой квантовой механики. Применение закона Планка позволяет объяснять спектры излучения звёзд и других астрономических объектов, что имеет большое значение для астрофизики.

Формула Планка — базовый закон, определяющий распределение энергии теплового излучения абсолютно чёрного тела. Она не только разрешила противоречия между теорией и экспериментом в конце XIX века, но и ознаменовала новую эпоху в физике, поспособствовав развитию квантовой теории и современному пониманию природы излучения.

• Бутиков Е. И. Оптика : учебное пособие для вузов. — СПб. : БХВ-Петербург : Невский ДиалектЪ, 2003.
• Ландсберг Г. С. Оптика : учебное пособие для вузов. — Москва : Физматлит, 2003.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 4. Оптика. — Москва : Физматлит, 2014.