Формула Бете — Блоха

Формула Бете — Блоха — формула для удельной ионизационной потери энергии при прохождении заряженных частиц через вещество. Получена Феликсом Блохом и Хансом Бете. Формула написана в системе СГС.

Для тяжёлой заряженной частицы эта формула имеет вид^[1]:

${\displaystyle -\left({\frac {dT}{dx}}\right)={\frac {4\pi n_{e}z^{2}e^{4}}{m_{e}v^{2}}}\left[\ln {\frac {2m_{e}v^{2}}{I}}-\ln(1-\beta ^{2})-\beta ^{2}-\delta -U\right]}$,

где ${\displaystyle T}$ — кинетическая энергия частицы; ${\displaystyle v}$ — скорость частицы; ${\displaystyle x}$ — путь, пройденный заряженной частицей в веществе; ${\displaystyle m_{e}}$ — масса электрона; ${\displaystyle I=(13{,}5Z)\cdot 1{,}6\cdot 10^{-12}}$ — средний ионизационный потенциал атомов поглощающего вещества (эрг); ${\displaystyle n_{e}}$ — плотность электронов в среде; ${\displaystyle e}$ — заряд электрона; ${\displaystyle z}$ — заряд частицы; ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$; ${\displaystyle \delta }$,${\displaystyle U}$ — члены, учитывающие эффект плотности и связанность K- и L-электронов. Основной результат, который вытекает из этой формулы, заключается в том, что удельная потеря энергии заряженной частицы на ионизацию пропорциональна квадрату заряда частицы, концентрации электронов в среде, некоторой функции от скорости ${\displaystyle \varphi (v)\sim {\frac {1}{v^{2}}}}$ и не зависит от массы частицы ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}\sim z^{2}n_{e}\varphi (v)}$.

Формула для вычисления ионизационных потерь электронов выглядит несколько иначе^[1]:

${\displaystyle -\left({\frac {dT}{dx}}\right)^{(e)}={\frac {2\pi e^{4}n_{e}}{m_{e}v^{2}}}\left[\ln {\frac {m_{e}v^{2}T_{e}}{2I^{2}{(1-\beta ^{2})}}}-\ln 2\left({2{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}-1+\beta ^{2}\right)+1-\beta ^{2}+{\frac {1}{8}}\left(1-{\sqrt {1-\beta ^{2}}}~\right)^{2}-\delta \right]}$,

где ${\displaystyle T_{e}}$ — релятивистская кинетическая энергия электрона; ${\displaystyle n_{e}}$ — плотность электронов в среде; ${\displaystyle \delta }$ — поправка на эффект плотности. Различие объясняется тем, что при рассмотрении элементарного процесса взаимодействия двух электронов надо учитывать отклонение обеих частиц, а также квантовомеханический эффект обмена, обусловленный их тождественностью. Для электронов высокой энергии, как и для тяжёлых заряженных частиц, надо учитывать эффект плотности, приводящий к уменьшению ионизационных потерь. Однако при очень больших энергиях электроны начинают эффективно терять энергию из-за все большего и большего возрастания роли радиационного торможения. При энергии электрона, превосходящей критическую, эти потери преобладают над ионизационными.