Уравнения Лагранжа (гидромеханика)

Уравне́ния Лагра́нжа (в гидромеханике) — дифференциальные уравнения движения частиц несжимаемой идеальной жидкости в переменных Лагранжа, имеющие вид^[1]:

${\displaystyle \left(X-{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}\right){\frac {\partial x}{\partial a_{i}}}+\left(Y-{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}\right){\frac {\partial y}{\partial a_{i}}}+\left(Z-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}\right){\frac {\partial z}{\partial a_{i}}}={\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial a_{i}}},\qquad (i=1,2,3),\qquad (1)}$

где ${\displaystyle t}$ — время, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ — координаты частицы жидкости, ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{3}}$ — параметры, с помощью которых отличают частицы среды друг от друга (этими параметрами могут быть значения координат ${\displaystyle x_{0}}$, ${\displaystyle y_{0}}$, ${\displaystyle z_{0}}$ в некоторый момент времени ${\displaystyle t_{0}}$), ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ — проекции объёмных сил, ${\displaystyle p}$ — давление, ${\displaystyle \varrho }$ — плотность. Получены Ж. Л. Лагранжем около 1780 года.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Лагранжа сводится к тому, чтобы, зная ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$, а также начальные и граничные условия, определить ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle \varrho }$ как функции времени и параметров ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{3}}$. Для решения этой задачи необходимо к уравнениям (1) присоединить уравнение неразрывности и уравнение состояния ${\displaystyle \varrho =f(p)}$ для баротропного движения или ${\displaystyle \varrho =\mathrm {const} }$ для несжимаемой жидкости. Если зависимости ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ от ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, ${\displaystyle a_{3}}$, ${\displaystyle t}$ найдены, то траектории, скорости и ускорения частиц определяются обычными методами для кинематики точки:

${\displaystyle \varrho (a_{1},a_{2},a_{3},t){\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial a_{1}}}&{\frac {\partial y}{\partial a_{1}}}&{\frac {\partial z}{\partial a_{1}}}\\{\frac {\partial x}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial y}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial z}{\partial a_{2}}}\\{\frac {\partial x}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial y}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial z}{\partial a_{3}}}\end{vmatrix}}=\varrho _{0}(a_{1},a_{2},a_{3},t_{0}){\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{1}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{1}}}&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{1}}}\\{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{2}}}&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{2}}}\\{\frac {\partial x_{0}}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial y_{0}}{\partial a_{3}}}&{\frac {\partial z_{0}}{\partial a_{3}}}\end{vmatrix}}\qquad \qquad (2)}$

Обычно при решении задач гидромеханики пользуются уравнениями Эйлера. Уравнения Лагранжа применяются главным образом при изучении нестационарных движений — в частности, колебательных движений жидкости, а также при рассмотрении некоторых вопросов теории турбулентности.