Уравнение Коши — Эйлера

Общий вид уравнения :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{a_{k}(\alpha x+\beta )^{k}y^{(k)}(x)}=f(x)}$.

Его частный случай :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{a_{k}x^{k}y^{(k)}(x)}=f(x)}$.

Подстановка вида ${\displaystyle \ (\alpha x+\beta )=e^{t}}$ то есть ${\displaystyle \ t=\ln(\alpha x+\beta )}$ приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что ${\displaystyle \ t_{x}'=\alpha (\alpha x+\beta )^{-1}}$, ${\displaystyle \ t_{xx}''=-\alpha ^{2}(\alpha x+\beta )^{-2}}$ и ${\displaystyle \ t_{xxx}'''=+2\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}}$.
В соответствии с этим:

${\displaystyle \ y(t)=y(t(x))}$

откуда

${\displaystyle \ y_{x}'(x)=y_{t}'(t)t_{x}'=y_{t}'(t)\alpha (\alpha x+\beta )^{-1}}$

таким образом

${\displaystyle \ (\alpha x+\beta )y_{x}'(x)=\alpha y_{t}'(t)}$

Вычислим очередную производную сложной функции

${\displaystyle \ y_{xx}''(x)=(y_{x}'(x))_{x}'=(y_{t}'(t)t_{x}')_{x}'=y_{tt}''(t)t_{x}'t_{x}'+y_{t}'(t)t_{xx}''=y_{tt}''(t)\alpha ^{2}(\alpha x+\beta )^{-2}+y_{t}'(t)(-\alpha ^{2})(\alpha x+\beta )^{-2}}$,

что приводит к

${\displaystyle \ (\alpha x+\beta )^{2}y_{xx}''(x)=\alpha ^{2}(y_{tt}''(t)-y_{t}'(t))}$.

и далее

${\displaystyle \ y_{xxx}'''(x)=(y_{xx}''(x))_{x}'=(y_{tt}''(t)(t_{x}')^{2}+y_{t}'(t)t_{xx}'')_{x}'=y_{ttt}'''(t)t_{x}'(t_{x}')^{2}+y_{tt}''(t)2t_{x}'t_{xx}''+y_{tt}''(t)t_{x}'t_{xx}''+y_{t}'(t)t_{xxx}'''=}$

${\displaystyle \ =y_{ttt}'''(t)(t_{x}')^{3}+3y_{tt}''(t)t_{x}'t_{xx}''+y_{t}'(t)t_{xxx}'''=y_{ttt}'''(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}-3y_{tt}''(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}+2y_{t}'(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}}$

что, аналогично, приводит к

${\displaystyle \ (\alpha x+\beta )^{3}y_{xxx}'''(x)=\alpha ^{3}(y_{ttt}'''(t)-3y_{tt}''(t)+2y_{t}'(t))}$

Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n

Дано неоднородное уравнение

${\displaystyle \ (2x-1)^{3}y'''(x)+4(2x-1)^{2}y''(x)-8(2x-1)y'(x)=32\ln(2x-1)}$.

Определив подстановку ${\displaystyle \ t=\ln(2x-1)}$ ${\displaystyle \ \left((2x-1)=e^{t}\right)}$, приходим к уравнению

${\displaystyle \ 8(y'''(t)-3y''(t)+2y'(t))+4\cdot 4(y''(t)-y'(t))-8\cdot 2y'(t)=32t}$.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

${\displaystyle \ y'''(t)-y''(t)-2y'(t)=4t}$,

решение которого имеет вид

${\displaystyle \ y(t)=c_{1}e^{-1t}+c_{2}e^{2t}+c_{3}+t-t^{2}}$

или в терминах ${\displaystyle \ x}$

${\displaystyle \ y(x)=c_{1}(2x-1)^{-1}+c_{2}(2x-1)^{2}+c_{3}+ln(2x-1)-ln(2x-1)^{2}}$

Общий вид уравнения :

${\displaystyle \ a_{2}(\alpha x+\beta )^{2}y''(x)+a_{1}(\alpha x+\beta )y'(x)+a_{0}y(x)=f(x)}$.

Его частный случай :

${\displaystyle \ a_{2}x^{2}y''(x)+a_{1}xy'(x)+a_{0}y(x)=f(x)}$.

Подстановкой ${\displaystyle \ (\alpha x+\beta )=e^{t}}$ то есть ${\displaystyle \ t=\ln(\alpha x+\beta )}$
или, соответственно,

${\displaystyle \ x=e^{t}}$ то есть ${\displaystyle \ t=\ln x}$

приводится к виду линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

${\displaystyle \ a_{2}\alpha ^{2}y''(t)+a_{1}\alpha y'(t)+a_{0}y(t)=f(e^{t})}$.

или, соответственно,

${\displaystyle \ a_{2}y''(t)+a_{1}y'(t)+a_{0}y(t)=f(e^{t})}$.

Дано неоднородное уравнение

${\displaystyle \ x^{2}y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=6x}$.

Определив подстановку ${\displaystyle \ t=\ln x}$ (${\displaystyle \ x=e^{t}}$), приходим к уравнению

${\displaystyle \ (y''(t)-y'(t))-2y'(t)+2y(t)=6e^{t}}$.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

${\displaystyle \ y''(t)-3y'(t)+2y(t)=6e^{t}}$,

решение которого имеет вид

${\displaystyle \ y(t)=c_{1}e^{+1t}+c_{2}e^{+2t}-6te^{+1t}}$

или в терминах ${\displaystyle \ x}$

${\displaystyle \ y(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}-6x\ln x}$

Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:

${\displaystyle \ x^{2}y''(x)+pxy'(x)+qy(x)=0}$.

Его решениями являются функции вида:

${\displaystyle \ y(x)=x^{r}}$,

где ${\displaystyle r}$ — корни характеристического уравнения

${\displaystyle \ r^{2}+(p-1)r+q=0}$,

которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Если эти корни будут комплексными, то нужно воспользоваться формулой Эйлера и взять вещественную и мнимую части решения. Если же корни совпадут, то линейно независимыми решениями будут ${\displaystyle \ x^{r}}$ и ${\displaystyle \ \ln(x)x^{r}}$

Дано однородное уравнение

${\displaystyle \ x^{2}y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=0}$.

Характеристическое уравнение которого имеет вид

${\displaystyle \ r^{2}+(-2-1)r+2=0\Leftrightarrow r^{2}-3r+2=0}$,

с решениями ${\displaystyle \ r_{1}=1}$, ${\displaystyle \ r_{2}=2}$.
Тогда общее решение однородного уравнения

${\displaystyle \ y(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}}$