Угловая и линейная скорость точки

Углова́я и лине́йная ско́рость то́чки — физические величины, характеризующие движение материальной точки по окружности.

Углова́я ско́рость показывает, на какой угол поворачивается радиус-вектор точки за единицу времени.

Линейная скорость показывает, какое расстояние проходит точка по дуге окружности за единицу времени.

Линейная скорость (${\displaystyle v}$) — это скорость, с которой точка проходит путь по дуге окружности. Она определяется как отношение пройденного пути к времени:

${\displaystyle v={\dfrac {s}{t}}}$,

где:

• ${\displaystyle s}$ — пройденный путь (длина дуги);
• ${\displaystyle t}$ — время движения.

При равномерном движении по окружности линейная скорость выражается через радиус окружности (${\displaystyle R}$) и период обращения (${\displaystyle T}$):

${\displaystyle v={\dfrac {2\pi R}{T}}}$,

где:

• ${\displaystyle 2\pi R}$ — длина окружности.

Линейная скорость всегда направлена по касательной к траектории в каждой точке движения.

Угловая скорость (${\displaystyle \Omega }$) характеризует скорость изменения угла поворота радиуса-вектора точки:

${\displaystyle \Omega ={\dfrac {\Delta \phi }{\Delta t}}}$,

где:

• ${\displaystyle \Delta \Theta }$ — угол поворота (в радианах);
• ${\displaystyle \Delta t}$ — время, за которое произошёл поворот на угол ${\displaystyle \Delta \phi }$.

Для равномерного кругового движения угловая скорость постоянна и определяется как:

${\displaystyle \Omega ={\dfrac {2\pi }{T}}}$,

где:

• ${\displaystyle T}$ — период обращения (время одного полного оборота).

Линейная и угловая скорости связаны между собой соотношением:

${\displaystyle v=\Omega R}$.

Это соотношение показывает, что линейная скорость прямо пропорциональна угловой скорости и радиусу окружности.

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью направление линейной скорости постоянно меняется, что приводит к возникновению ускорения, направленного к центру окружности — центростремительного ускорения (${\displaystyle a_{n}}$). Оно определяется формулой:

${\displaystyle a_{n}={\dfrac {v^{2}}{R}}=\Omega ^{2}R}$,

где:

• ${\displaystyle v}$ — линейная скорость;
• ${\displaystyle R}$ — радиус окружности;
• ${\displaystyle \Omega }$ — угловая скорость.

Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и отвечает за изменение направления скорости точки без изменения её модуля.

Если скорость движения по окружности изменяется не только по направлению, но и по величине (неравномерное движение), то появляется тангенциальное ускорение (${\displaystyle a_{\tau }}$), направленное по касательной к траектории и характеризующее изменение модуля скорости. Полное ускорение (${\displaystyle {\vec {a}}}$) является векторной суммой нормального (центростремительного) и тангенциального ускорений:

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{n}+{\vec {a}}_{\tau }}$,

где:

• ${\displaystyle {\vec {a}}_{n}}$ — нормальное (центростремительное) ускорение;
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{\tau }}$ — тангенциальное ускорение.

Понимание угловой и линейной скоростей позволяет описывать движение материальной точки по окружности как в линейных, так и в угловых терминах. Связь между этими скоростями даёт возможность переходить от одного описания к другому. Центростремительное ускорение является ключевым понятием при анализе криволинейного движения, объясняя изменение направления скорости. При неравномерном движении важно учитывать полное ускорение, складывающееся из нормальной и тангенциальной составляющих.

• Ландау Л. Д. Курс общей физики : механика и молекулярная физика. — Москва : Добросвет : Издательство КДУ, 2011.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. — Москва : Физматлит, 2014.
• Савельев И. В. Курс общей физики. В 5 томах. Том 1. Механика — Москва : Лань, 2022.