Тригонометрические функции, их графики (ЕГЭ-ОГЭ)

К основным свойствам этой функции относятся:

1. Область определения ${\displaystyle D(x)=\mathbb {R} }$;
2. Область значений ${\displaystyle E(y)=[-1;1]}$;
3. Функция нечётная ${\displaystyle \sin(-x)=-\sin x}$;
4. Функция не является монотонной на всей своей области определения;
5. Функция периодична с наименьшим периодом ${\displaystyle T=2\pi }$.

Синусо́ида — плоская кривая, выражаемая в прямоугольных координатах уравнением

${\displaystyle y=\sin x.}$

Для построения графика обычно сначала отмечают область, ограниченную сверху значением 1 и снизу −1, что соответствует области значений функции.

Знание значений синуса для нескольких табличных углов позволяет начертить первую полную «волну» графика, а затем копировать её вправо и влево на расстояние ${\displaystyle 2\pi }$.

К основным свойствам этой функции относятся:

1. Область определения ${\displaystyle D(x)=\mathbb {R} }$;
2. Область значений ${\displaystyle E(y)=[-1;1]}$;
3. Функция чётная ${\displaystyle \cos(-x)=\cos x}$;
4. Функция не является монотонной на всей своей области определения;
5. Функция периодична с наименьшим периодом ${\displaystyle T=2\pi }$.

Косинусо́ида — плоская кривая, выражаемая в прямоугольных координатах уравнением

${\displaystyle y=\cos x}$.

При построении графика косинуса также удобно сначала отметить область, ограниченную сверху значением 1 и снизу −1, что соответствует области значений функции.

Знание значений косинуса для нескольких табличных углов позволяет начертить первую полную «волну» графика, а затем переносить её вправо и влево с периодом ${\displaystyle 2\pi }$.

К основным характеристикам этой функции относятся:

1. Область определения ${\displaystyle D(x)=\mathbb {R} }$, кроме ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} }$ (тангенс этих аргументов не существует);
2. Область значений ${\displaystyle E(y)=\mathbb {R} }$;
3. Функция нечётная ${\displaystyle \mathrm {tg} (-x)=-\mathrm {tg} x}$;
4. Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса (см. рис.);
5. Функция периодична с наименьшим периодом ${\displaystyle T=\pi }$.

Для построения графика ${\displaystyle y=\mathrm {tg} x}$ прежде всего наносят вертикальные асимптоты в точках, не входящих в область определения, то есть ${\displaystyle x=-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}}$ и т. д.

Затем внутри каждой образованной асимптотами полосы проводят ветви тангенса, прижимая их к левой и правой асимптотам. При этом каждая ветвь возрастает монотонно.

Все ветви строят одинаково, поскольку функция периодична с периодом ${\displaystyle \pi }$, что видно из сдвига соседней ветви на ${\displaystyle \pi }$ вдоль оси абсцисс.

К основным характеристикам этой функции относятся:

1. Область определения ${\displaystyle D(x)=\mathbb {R} }$, кроме ${\displaystyle x=\pi n,n\in \mathbb {Z} }$ (котангенс этих аргументов не существует);
2. Область значений ${\displaystyle E(y)=\mathbb {R} }$;
3. Функция нечётная ${\displaystyle \mathrm {ctg} (-x)=-\mathrm {ctg} x}$;
4. Функция монотонно убывает в пределах своих веток, аналогичных веткам тангенса (см. рис.);
5. Функция периодична с наименьшим периодом ${\displaystyle T=\pi }$.

Как и в случае тангенса, построение графика удобнее всего начать с нанесения вертикальных асимптот в точках, не входящих в область определения, то есть ${\displaystyle x=-\pi ,0,\pi }$ и т. д. Далее внутри каждой образованной асимптотами полосы проводят ветви котангенса, прижимая их к левой и правой асимптотам. Каждый участок убывает монотонно. Все ветви строят одинаковым образом, поскольку функция имеет период ${\displaystyle \pi }$.

У тригонометрических функций со сложным аргументом период может иметь отличное от стандартного значение.

Например, для функций:

• ${\displaystyle y=\sin(ax\pm b)}$ и
• ${\displaystyle y=\cos(ax\pm b)}$

период равен:

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{a}}}$.

Для функций:

• ${\displaystyle y=\mathrm {tg} (ax\pm b)}$ и
• ${\displaystyle y=\mathrm {ctg} (ax\pm b)}$

период составляет

${\displaystyle T={\frac {\pi }{a}}}$.

Таким образом, новый период получается делением стандартного периода на множитель при аргументе и не зависит от иных преобразований функции.