Тригонометрические неравенства

• Тригонометрические функции — функции, связывающие углы треугольника с отношениями его сторон:

  ${\displaystyle \sin x}$ — синус угла ${\displaystyle x}$.
  ${\displaystyle \cos x}$ — косинус угла ${\displaystyle x}$.
  ${\displaystyle \operatorname {tg} x}$ — тангенс угла ${\displaystyle x}$.
  ${\displaystyle \operatorname {ctg} x}$ — котангенс угла ${\displaystyle x}$.

• Область определения — набор значений переменной ${\displaystyle x}$, при которых функции существуют:

  Для ${\displaystyle \operatorname {tg} x}$: ${\displaystyle x\neq {\dfrac {\pi }{2}}+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$.
  Для ${\displaystyle \operatorname {ctg} x}$: ${\displaystyle x\neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$.

• Если ${\displaystyle a>1}$ или ${\displaystyle a<-1}$, решений нет, так как ${\displaystyle -1\leq \sin x\leq 1}$ для всех ${\displaystyle x}$.
• Если ${\displaystyle -1\leq a\leq 1}$, то решение находится следующим образом:

 1. Найти основные решения уравнения ${\displaystyle \sin x=a}$: ${\displaystyle x_{0}=(-1)^{k}\arcsin a+\pi k,\quad k\in \mathbb {Z} }$.
 2. Определить промежутки, где ${\displaystyle \sin x\geq a}$, используя график функции или круговую модель.
 3. Записать общее решение, учитывая периодичность: ${\displaystyle x\in [2\pi n+\alpha ;2\pi n+\pi -\alpha ],\quad n\in \mathbb {Z} }$, где ${\displaystyle \alpha =\arcsin a}$.

• Аналогично, если ${\displaystyle -1\leq b\leq 1}$, то решения определяются из уравнения ${\displaystyle \cos x=b}$:

 1. Основные решения: ${\displaystyle x_{0}=\pm \arccos b+2\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$.
 2. Определяются интервалы, где ${\displaystyle \cos x\leq b}$.
 3. Общее решение записывается с учётом периода функции ${\displaystyle 2\pi }$.

• Для неравенств вида ${\displaystyle \operatorname {tg} x>c}$:

 1. Решаем уравнение ${\displaystyle \operatorname {tg} x=c}$: ${\displaystyle x_{0}=\operatorname {arctg} c+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$.
 2. Определяем знаки тангенса на промежутках между асимптотами.
 3. Пишем решение, учитывая период ${\displaystyle \pi }$.

• Для неравенств вида ${\displaystyle \operatorname {ctg} x<d}$ аналогично.

Используется при решении неравенств, приводимых к произведению или частному нескольких множителей:

1. Преобразовать неравенство к виду ${\displaystyle f(x)\cdot g(x)\geq 0}$. 2. Найти нули функций ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$. 3. Разбить числовую ось на интервалы и определить знак выражения на каждом из них. 4. Выписать решение, где неравенство выполняется.

1. Если неравенство можно представить в виде однородного выражения, то обе части делятся на подходящую функцию. 2. Вводится замена: например, ${\displaystyle t=\operatorname {tg} x}$. 3. Решается полученное алгебраическое неравенство относительно новой переменной. 4. Исходя из замены, находятся значения ${\displaystyle x}$.

• Пример 1: Решить неравенство ${\displaystyle \sin x>{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$

 1. Поскольку ${\displaystyle \arcsin {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}={\dfrac {\pi }{4}}}$.
 2. Решение: ${\displaystyle x\in \left(2\pi n+{\dfrac {\pi }{4}};2\pi n+{\dfrac {3\pi }{4}}\right),\quad n\in \mathbb {Z} }$.

• Пример 2: Решить неравенство ${\displaystyle 2\cos ^{2}x-3\cos x+1<0}$

 1. Рассматриваем как квадратное неравенство относительно ${\displaystyle \cos x}$.
 2. Найти корни: ${\displaystyle \cos x=1;\quad \cos x={\dfrac {1}{2}}}$.
 3. Решение неравенства относительно ${\displaystyle \cos x}$: ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}<\cos x<1}$.
 4. Находим ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle x\in \left(2\pi n-{\dfrac {\pi }{3}};2\pi n+{\dfrac {\pi }{3}}\right),\quad n\in \mathbb {Z} }$.

• Основное тригонометрическое тождество:

  ${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$

• Формулы понижения степени:

  ${\displaystyle \sin ^{2}x={\dfrac {1-\cos 2x}{2}}}$
  ${\displaystyle \cos ^{2}x={\dfrac {1+\cos 2x}{2}}}$

• Формулы двойного угла:

  ${\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x}$
  ${\displaystyle \cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x}$

Решение тригонометрических неравенств — важный навык, требующий знания свойств тригонометрических функций и умения применять различные методы решения, включая преобразование выражений и анализ периодичности. Уверенное владение этими методами позволяет эффективно решать задачи профильного уровня сложности и готовиться к экзаменам по математике.