Теоремы Янга и Ли

Предположим, что при ${\displaystyle V\rightarrow \infty }$ площадь поверхности увеличивается не быстрее, чем ${\displaystyle V^{\frac {2}{3}}}$. Тогда предел ${\displaystyle \lim _{V\to \infty }[V^{-1}\ln G(z,V)]}$ существует при всех ${\displaystyle z>0}$. Этот предел не зависит от формы объёма ${\displaystyle V}$ и является непрерывной неубывающей функцией ${\displaystyle z}$.

Пусть ${\displaystyle R}$ есть область в комплексной плоскости ${\displaystyle z}$, содержащая отрезок положительной действительной оси и не содержащая корней уравнения ${\displaystyle G(z,V)=0}$ при любом ${\displaystyle V}$. Тогда для всех ${\displaystyle z}$, лежащих в области ${\displaystyle R}$, величина ${\displaystyle V^{-1}\ln G(z,V)}$ равномерно сходится к пределу при ${\displaystyle V\rightarrow \infty }$. Этот предел является аналитической функцией ${\displaystyle z}$ для всех ${\displaystyle z}$, лежащих в области ${\displaystyle R}$.

Большая статистической сумма в квантовой статистической механике дается выражением ${\displaystyle G(z,V,T)=\sum _{N=0}^{\infty }z^{N}Q_{N}(V,T)}$, где ${\displaystyle Q_{N}(V,T)=\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}}$.