Теорема Фока — Крылова

Теорема Фока — Крылова определяет вероятность распада начального состояния квантовой системы следующим образом:

${\displaystyle L(t)=|p(t)|^{2}=\left|\int \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)\,dW(E)\right|^{2},}$

где

${\displaystyle dW(E)=w(E)\,dE}$ — спектр энергии начального состояния.

Пусть система описывается оператором ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$, который не зависит от времени. Тогда уравнение на собственные числа и собственные функции запишется следующем образом:

• для дискретного спектра:

  ${\displaystyle {\hat {H}}(x)\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x),}$

• для сплошного спектра:

  ${\displaystyle {\hat {H}}(x)\psi (E,x)=E\psi (E,x).}$

Пусть в момент времени ${\displaystyle t=0}$ система находится в состоянии ${\displaystyle \psi (x,0)}$, а в момент времени t она будет находиться в состоянии ${\displaystyle \psi (x,t)}$. Эволюция системы будет происходить согласно уравнению Шрёдингера:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\bar {H}}(x)\psi (x,t).}$

Решение этого уравнения имеет вид

${\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n}C_{n}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}E_{n}t\right)\psi _{n}(x)+\int C(E)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)\psi (E,x)\,dE.}$

Коэффициенты ${\displaystyle C_{n}}$ и ${\displaystyle C(E)}$ определяются начальными условиями:

${\displaystyle C_{n}=\int \psi _{n}^{*}(x)\psi (0,x)\,dx,\qquad C(E)=\int \psi ^{*}(E,x)\psi (0,x)\,dE.}$

Вероятность нахождения системы в начальном состоянии выражается следующим образом:

${\displaystyle L(t)=|p(t)|^{2}=\left|\int \psi ^{*}(x,0)\psi (x,t)\,dx\right|^{2}=\left|\int \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)w(E)\,dE\right|^{2},}$

где ${\displaystyle w(E)=\sum _{n}|C_{n}|^{2}\delta (E-E_{n})+|C(E)|^{2}}$ — спектр начального состояния.