Теорема Фишера — Типпета — Гнеденко

Пусть ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},\ldots }$ последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, и ${\displaystyle M_{n}=\max\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ обозначает «текущий» максимум этой последовательность: максимум по индексам от 1 до ${\displaystyle n}$ включительно. Ясно, что последовательность ${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots }$ неубывающая. Теорема утверждает следующее.  Допустим, что существуют (a) последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ и (б) невырожденная функция распределения ${\displaystyle G}$, такие что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} {\bigg (}{\frac {M_{n}-b_{n}}{a_{n}}}{\bigg )}=G(x),}$

то есть, что ${\displaystyle (M_{n}-b_{n})/a_{n}}$ сходится по распределению к случайной величины, имеющей функуию распределения ${\displaystyle G}$. Тогда ${\displaystyle G}$ может принадлежать, c точностью до сдвига и масштаба, только одному из всего трех типов так называемых распрелелений экстремальных значений:

(I) ${\displaystyle G(x)=e^{-e^{x}},-\infty <x<\infty }$;

(II) ${\displaystyle G(x)=e^{-x^{-\alpha }}I(x>0)}$;

(III) ${\displaystyle G(x)=e^{-(-x)^{\alpha }}I(x\leq 0)+I(x>0)}$,

где ${\displaystyle I}$ обозначает функция инидикатор и ${\displaystyle \alpha }$, парамерт во втором и третьем типах — положительный.

Первый тип относиться к распределению Гумбеля, второй к распределению Фреше, третий к распределению Вейбулля-Гнеденко. Эти ситуации называют обобщениями экстремальными законами^[5].

В разработке теоремы участвовали Математики Фишер в 1927 и Типетт в 1928 году, а также Борис Гнеденко в 1943 году.