Теорема Усова о геодезической

Пусть ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}$ — есть график выпуклой липшицевой функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$; и ${\displaystyle \gamma }$ — есть геодезическая на ${\displaystyle \Sigma }$. Тогда вариация поворота ${\displaystyle \gamma }$ не превосходит ${\displaystyle 2\cdot L}$, где ${\displaystyle L}$ — липшицева константа ${\displaystyle f}$.

• Эта оценка достигается, например, для конуса ${\displaystyle f=L\cdot {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$. Можно также сгладить функцию в окрестности нуля, получив таким образом гладкий пример с равенством.

• Вариация поворота геодезической подграфика произвольной ${\displaystyle L}$-липшицевой функции не превосходит ${\displaystyle 2\cdot L}$.^[2]
• Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.^[3]