Теорема Софи Жермен

Исследуя Великую теорему Ферма, Софи Жермен доказала следующую теорему:

В частности, если ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle 2p+1}$ просты (при этом ${\displaystyle p}$ называется числом Софи Жермен), то для ${\displaystyle p}$ справедлив первый случай теоремы Ферма. ^[2]

Полезно иметь в виду, что любая ${\displaystyle p}$-ая степень ${\displaystyle \xi }$ по модулю ${\displaystyle q=2mp+1}$ удовлетворяет сравнению

${\displaystyle \xi ^{2m}\equiv 1{\pmod {p}}}$

Действительно, если ${\displaystyle \xi =a^{l}{\pmod {p}}}$, где ${\displaystyle a\not \equiv 0{\pmod {p}}}$, то по малой теореме Ферма ${\displaystyle \xi ^{2m}\equiv a^{2ml}\equiv a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

При ${\displaystyle m=1}$ для любого простого ${\displaystyle p}$ существует только 2 несравнимых числа ξ , удовлетворяющих сравнению ${\displaystyle \xi ^{2}\equiv 1{\pmod {p}}}$, а именно числа ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle -1\equiv p-1{\pmod {p}}}$

Поскольку 1 и -1 не являются соседними ${\displaystyle l}$-ыми степенями по модулю ${\displaystyle p}$, следовательно Условие 2 для ${\displaystyle m=1}$ выполняется автоматически

Поскольку ${\displaystyle l^{2}-1=(l+1)(l-1)}$ не может делиться на простое число ${\displaystyle 2l+1>l+1}$, то при ${\displaystyle m=1}$ Условие 3 также выполнено

Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя ${\displaystyle l}$, если хотя бы одно из пяти чисел:

${\displaystyle 4l+1,8l+1,10l+1,14l+1,16l+1}$

является простым числом ^[3]

Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя ${\displaystyle l}$, если существует такое ${\displaystyle m\geq 1}$, что:

1). Число ${\displaystyle p=2ml+1}$ является простым числом, не делящим числа ${\displaystyle D_{m}}$

2). Число ${\displaystyle l^{2m}-1}$ не делится на ${\displaystyle p}$

Число ${\displaystyle D_{m}}$ допускает 3 равнозначных определения:

а). ${\displaystyle D_{m}=(-1)^{m}\prod _{j=1}^{2m-1}[(1+\xi ^{j})-1]}$, где ${\displaystyle \xi =\cos {\pi \over m}+i\sin {\pi \over m}}$

б). ${\displaystyle D_{m}}$ является определителем матрицы:

${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}C_{1}^{2m}&C_{2}^{2m}&...&C_{2m-1}^{2m}&C_{2m}^{2m}\\C_{2}^{2m}&C_{3}^{2m}&...&C_{2m}^{2m}&C_{1}^{2m}\\...&...&...&...&...\\C_{2m}^{2m}&C_{1}^{2m}&...&C_{2m-2}^{2m}&C_{2m-1}^{2m}\end{smallmatrix}}\right)}$

в). ${\displaystyle D_{m}}$ представляет собой т.н. результант многочленов ${\displaystyle x^{2m}-1}$ и ${\displaystyle (x+1)^{2m}-1}$ ^[4]

Итальянские историки математики А. Чентина и А. Фьокка, исследовавшие письменное наследие С. Жермен, пришли к выводу, что её вклад в доказательство большой теоремы Ферма не ограничивается только теоремой Жермен, а простирается намного дальше^[5].