Теорема Пикара (интегральные уравнения)

В формулировке теоремы ${\displaystyle \lambda _{k}}$ - характеристические числа ядра ${\displaystyle K(t,s)}$, ${\displaystyle f_{k}=(f,\phi _{k})}$ - коэффициенты Фурье функции ${\displaystyle f(t)}$ относительно собственных функций ${\displaystyle \phi _{n}(t)}$ этого ядра: ${\displaystyle \phi _{n}(t)=\lambda _{n}\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{n}(s)ds}$. Симметричное ядро ${\displaystyle K(t,s)}$ называется замкнутым в ${\displaystyle L_{2}[a,b]}$, если каждая функция ${\displaystyle \sigma (t)\in L_{2}[a,b]}$, удовлетворяющая равенству ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}K(t,s)\sigma (s)ds=0}$ равна нулю почти всюду на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Для замкнутого ядра его собственные функции образуют ортогональную полную в ${\displaystyle L_{2}[a,b]}$ систему функций.

Предположим, что существует решение ${\displaystyle \phi (t)\in L_{2}[a,b]}$ уравнения ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)}$.

Найдем коэффициенты Фурье функции ${\displaystyle f(t)}$ относительно собственных функций ${\displaystyle \phi _{n}(t)}$ этого ядра: ${\displaystyle f_{n}=\int \limits _{a}^{b}f(t)\phi _{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{b}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds\right\}\phi _{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{b}\left\{\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{n}(t)dt\right\}\phi (s)ds={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{n}(s)\phi (s)ds}$.

Здесь во втором равенстве использовано, что в силу условия теоремы ${\displaystyle f(t)=\int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds}$, в четвёртом равенстве, что, в силу симметричности ядра ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi _{n}(t)dt={\frac {1}{\lambda _{n}}}\phi _{n}(s)}$.

Равенство ${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\int \limits _{a}^{b}\phi _{n}(s)\phi (s)ds}$ может быть переписано в виде ${\displaystyle \lambda _{n}f_{n}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{n}(s)\phi (s)ds}$. Отсюда следует, что числа ${\displaystyle \lambda _{n}f_{n}}$ являются коэффициентами Фурье функции ${\displaystyle \phi (t)\in L_{2}[a,b]}$. В силу известной теоремы математического анализа, ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{2}f_{k}^{2}}$ из квадратов этих коэффициентов является сходящимся.

Предположим, наоборот, что ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{2}f_{k}^{2}}$ сходится. Тогда в силу теоремы Рисса-Фишера существует единственная функция ${\displaystyle \phi (t)\in L_{2}[a,b]}$, для которой числа ${\displaystyle \lambda _{n}f_{n}}$ являются коэффициентами Фурье по системе функций ${\displaystyle {\mathcal {f}}\phi _{n}(t){\mathcal {g}}}$, то есть выполняются равенства ${\displaystyle \lambda _{n}f_{n}=\int \limits _{a}^{b}\phi _{n}(s)\phi (s)ds}$ для всех ${\displaystyle n(n=1,2,...)}$. Эта функция ${\displaystyle \phi (t)}$ удовлетворяет интегральному уравнению ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds=f(t)}$, так как в силу самого построения ${\displaystyle \phi (t)}$ функции ${\displaystyle f(t)}$ и ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds}$ имеют одни и те же коэффициенты Фурье относительно полной системы ${\displaystyle {\mathcal {f}}\phi _{n}(t){\mathcal {g}}}$ собственных функций ядра ${\displaystyle K(t,s)}$. Таким образом, функции ${\displaystyle f(t)}$ и ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}K(t,s)\phi (s)ds}$ тождественны в метрике ${\displaystyle L_{2}[a,b]}$.