Теорема Зайденберга — Тарского

Для всякой формулы ${\displaystyle \varphi }$ в сигнатуре, содержащей двуместные предикаты ${\displaystyle =}$ и ${\displaystyle <}$, константы ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ и двуместные операции ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle \times }$, существует бескванторная формула ${\displaystyle \psi }$, эквивалентная ей на множестве вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

• Эквивалентное утверждение: полуалгебраичность проекций полуалгебраического множества: так как проекция полуалгебраического множества ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$ вдоль одной из осей добавляет в определяющую систему квантор существования, который можно элиминировать, результатом её будет полуалгебраическое множество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$; с другой стороны, полуалгебраичность всякой проекции полуалгебраического множества обеспечивает устранимость квантора существования во всякой формуле, и это является единственным нетривиальным моментом в доказательстве теоремы об элиминации кванторов.

• Теорема может рассматриваться как далеко идущее обобщение теоремы Штурма^[1], в связи с чем фигурирует также как обобщённая теорема Штурма. При таком взгляде, теорема Штурма формулируется^[2] как наличие для любого многочлена ${\displaystyle p(x,x_{1},\dots ,x_{n})}$ бескванторной формулы ${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n},a,b)}$ такой, что из аксиом замкнутого вещественного поля следует эквивалентность:

${\displaystyle a<b\Rightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n},a,b)\equiv \exists x(a<x<b\land p(x,x_{1},\dots ,x_{n})=0)}$;

формулировка же теоремы Зайденберга — Тарского в этом случае — переход от произвольной бескванторной формулы ${\displaystyle \varphi (x,x_{1},\dots ,x_{n})}$, ограниченной квантором существования, к бескванторной формуле ${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n},a,b)}$:

${\displaystyle a<b\Rightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n},a,b)\equiv \exists x(a<x<b\land \varphi (x,x_{1},\dots ,x_{n}))}$.

Притом если классическое доказательство теоремы Штурма существенно использует техники анализа (в частности, теорему об обращении в нуль непрерывной функции, меняющей знак), то математическая логика даёт сугубо алгебраическое доказательство факта^[2].

Доказана Тарским в 1948 году в статье по разрешимости теорий элементарной алгебры и элементарной геометрии.^[3] В 1954 году Абрахамом Зайденбергом найден более простой и естественный метод доказательства^[4][5].