Теорема Блоха

Собственные состояния одноэлектронного гамильтониана^[2]:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\,,}$

где потенциал U(r) периодичен по всем векторам R решётки Бравэ, могут быть выбраны таким образом, чтобы их волновые функции имели форму плоской волны, умноженной на функцию, обладающую той же периодичностью, что и решётка Бравэ:

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {kr} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\,,}$

где

${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$

для всех R, принадлежащих решётке Бравэ. Индекс n называют номером зоны. Его появление связано с тем, что при произвольном фиксированном волновом векторе частицы k, система может иметь много независимых собственных состояний.

Электронные волновые функции в виде ${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )}$называют функциями Блоха. Но при этом важно понимать, что, в отличие от функций Блоха, амплитуды ${\displaystyle \psi _{n{\textbf {k}}}=e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}u_{n{\textbf {k}}}({\textbf {r}})}$ не являются периодическими функциями, поскольку член ${\displaystyle e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}}}$ описывает плоскую волну.

В теореме рассматривается идеальный бесконечный кристалл. Это означает, что в нём отсутствуют дефекты и он обладает трансляционной симметрией. При дальнейшем построении теории, нарушения периодичности решётки обычно считаются малыми возмущениями. Кроме того, в реальном кристалле электроны взаимодействуют между собой, что должно отразиться на гамильтониане системы добавлением соответствующего члена. В формулировке теоремы, однако, используется приближение невзаимодействующих электронов, что позволяет рассматривать одночастичный гамильтониан.

Обозначим за T_R оператор трансляции произвольной функции на вектор R. В силу периодичности гамильтониана имеем:

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}\psi ={\hat {H}}(\mathbf {r} +\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hat {H}}(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )={\hat {H}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi .}$

Таким образом, оператор трансляции на произвольный вектор решётки Бравэ коммутирует с гамильтонианом системы. Кроме того, операторы трансляции на произвольные два вектора коммутируют между собой:

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )={\hat {T}}_{\mathbf {R'} }{\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} +\mathbf {R'} )={\hat {T}}_{\mathbf {R} +\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} ).}$

Из фундаментальной теоремы квантовой механики следует, что в этом случае состояния гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы они одновременно являлись собственными состояниями всех операторов T_R:

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi ,}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi .}$

Собственные значения c(R) связаны между собой соотношением c(R)c(R')=c(R+R'), поскольку, с одной стороны:

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R} ){\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi (\mathbf {r} )=c(\mathbf {R} )c(\mathbf {R'} )\psi ,}$

с другой:

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {T}}_{\mathbf {R'} }\psi ={\hat {T}}_{\mathbf {R} +\mathbf {R'} }\psi =c(\mathbf {R} +\mathbf {R'} )\psi .}$

Пусть a_i — три основных вектора решётки Бравэ. Мы всегда можем представить с(a_i) в виде

${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi \mathbf {i} \mathbf {x} _{i}}.}$

Для произвольного вектора R = n₁a₁+n₂a₂+n₃a₃ справедливо равенство:

${\displaystyle c(\mathbf {R} )=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}*c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2}}*c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}},}$

эквивалентное равенству ${\displaystyle c(\mathbf {R} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }}$, где ${\displaystyle \mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3}\,,}$ где b_i — вектора обратной решётки, удовлетворяющие соотношению

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}.}$

Итак, собственные значения ψ гамильтониана H можно выбрать таким образом, чтобы для каждого вектора R решётки Бравэ выполнялось равенство:

${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {R} )=c(\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} ),}$

что в точности соответствует утверждению теоремы.