Теорема Адамара о степенном ряде

Пусть ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }}$ — степенной ряд с радиусом сходимости ${\displaystyle R}$. Тогда:

${\displaystyle (\alpha )}$ если верхний предел ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}$ существует и положителен, то ${\displaystyle R={\frac {1}{\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}}}$;

${\displaystyle (\beta )}$ если ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0}$, то ${\displaystyle R=+\infty }$;

${\displaystyle (\gamma )}$ если верхнего предела ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}$ не существует, то ${\displaystyle R=0}$.

${\displaystyle (\alpha )}$ Пусть ${\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\in (0;+\infty )}$.

Если точка ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ такова, что ${\displaystyle |z-z_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}}$, то ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<1}$ и можно найти такое число ${\displaystyle q<1}$, что почти для всех ${\displaystyle \nu }$ будет выполняться ${\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<q\,}$. Из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }q^{\nu }}$ является сходящейся мажорантой ряда ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}$, то есть ${\displaystyle R={\frac {1}{\lambda }}}$.

Если, наоборот, точка ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ удовлетворяет условию ${\displaystyle |z-z_{0}|>{\frac {1}{\lambda }}}$, то ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }({\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\cdot |z-z_{0}|)>1}$ и для бесконечного множества номеров ${\displaystyle \nu }$ будет выполняться ${\displaystyle |a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|\geqslant 1}$. Следовательно, ряд ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }|}$ в точке ${\displaystyle z}$ расходится, поскольку его члены не стремятся к нулю.

${\displaystyle (\beta )}$ Пусть ${\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0}$. Тогда для каждого ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ последовательность ${\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}}$ сходится к нулю. Поэтому, если выбрать число ${\displaystyle q=q(z)\in (0;1)}$, то для почти всех номеров ${\displaystyle \nu }$ будет выполняться неравенство ${\displaystyle |a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|<q^{\nu }}$, откуда, как и в ${\displaystyle (\alpha )}$, следует сходимость ряда в точке ${\displaystyle z}$. Формально ${\displaystyle R={\frac {1}{+0}}=+\infty }$.

${\displaystyle (\gamma )}$ Верхнего предела ${\displaystyle \varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не существует (т.е. формально ${\displaystyle \lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=+\infty \in {\overline {\mathbb {R} }}}$) в том и только том случае, если последовательность ${\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}$ неограничена сверху. Если ${\displaystyle z\neq z_{0}}$, то неограничена и последовательность ${\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}}$. Поэтому ряд ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }}$ в точке ${\displaystyle z\neq z_{0}}$ расходится. Следует отметить, что при ${\displaystyle z=z_{0}}$ ряд ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }}$ сходится к ${\displaystyle a_{0}}$. Окончательно ${\displaystyle R=0}$ (т.е. формально ${\displaystyle R={\frac {1}{+\infty }}=+0}$, фактически ${\displaystyle R=\varliminf \limits _{\nu \to +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}=0}$).