Сложение вероятностей

Если исход опыта нас устраивает при осуществлении любого из нескольких вариантов, то соответствующие события объединяют в одно составное — их сумму — и ищут его вероятность. Различают две принципиально разные ситуации: рассматриваемые события либо не могут наступить одновременно, либо могут наступать вместе. Для этих случаев применяются разные формулы^[1].

Два события называются несовместными (взаимоисключающими), если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно: наступление одного из них исключает наступление другого^[1]. Примерами служат:

• при подбрасывании монеты выпадение «орла» и выпадение «решки»;
• при подбрасывании игрального кубика выпадение чётного числа и выпадение числа 3.

Для несовместных событий A и B справедлива формула^[1]:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Пример. В коробке лежат 14 шаров: 3 красных, 4 жёлтых, 5 синих и 2 зелёных. Требуется найти вероятность вытащить красный или зелёный шар.

Пусть событие A — вытащили красный шар, P(A) = 314; событие B — вытащили зелёный шар, P(B) = 214. Шар одновременно не может быть красным и зелёным, поэтому события несовместны и

P(A + B) = 314 + 214 = 514.

Ответ: 514^[1].

Два события A и B называются совместными, если событие «A и B» осуществимо, то есть в опыте существуют исходы, благоприятствующие одновременному наступлению обоих событий^[2]. Примеры:

• при подбрасывании игрального кубика A — «выпало чётное число», B — «выпало число больше 3»; событию «A и B» благоприятствуют исходы 4 и 6;
• при подбрасывании двух монет A — «выпал хотя бы один орёл», B — «выпала хотя бы одна решка»; событию «A и B» благоприятствуют исходы ОР и РО.

Если для совместных событий просто сложить вероятности, то исходы, при которых события происходят одновременно, будут учтены дважды: один раз в P(A), другой — в P(B). Поэтому вероятность события «A и B» из суммы нужно вычесть^[2]:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB),

где P(AB) = P(A и B) — вероятность одновременного наступления обоих событий.

Пример. Подбрасывают игральный кубик. Требуется найти вероятность того, что выпадет число, делящееся на 2, или число, делящееся на 3.

Событие A («число делится на 2») задаётся исходами {2, 4, 6}, P(A) = 36. Событие B («число делится на 3») задаётся исходами {3, 6}, P(B) = 26. Число 6 делится и на 2, и на 3, поэтому событие «A и B» состоит из одного исхода {6}, P(AB) = 16. Тогда

P(A + B) = 36 + 26 − 16 = 46 = 23.

Ответ: 23^[2].

• Сумма вероятностей больше единицы. Если при расчёте получается число, большее 1 (например, 0,6 + 0,5 = 1,1), это признак того, что события совместны, а слагаемое P(AB) не было вычтено^[2].
• Путаница союзов «или» и «и». Союз «или» для двух событий обычно соответствует сложению вероятностей, союз «и» — умножению (для независимых событий). Подмена одной операции другой ведёт к грубым ошибкам^[1].
• Игнорирование конструкции «хотя бы один». Задачи вида «хотя бы один бракованный прибор» или «хотя бы одна решка при трёх подбрасываниях» технически проще решать через переход к противоположному событию («ни одного брака», «ни одной решки»), а не через сложение вероятностей всех подходящих исходов по отдельности^[3].

Для попарно несовместных событий A₁, A₂, …, A_n формула сложения вероятностей обобщается непосредственно^[1]:

P(A₁ + A₂ + … + A_n) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n).

Для трёх совместных событий A, B, C вероятность их суммы вычисляется по формуле^[3]:

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC).

Методом математической индукции доказывается общая формула для вероятности суммы конечного числа совместных событий A₁, A₂, …, A_n (формула включений и исключений)^[3][4]:

${\displaystyle P\!\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})\;-\;\sum _{1\leq i<j\leq n}P(A_{i}A_{j})\;+\;\sum _{1\leq i<j<k\leq n}P(A_{i}A_{j}A_{k})\;-\;\ldots \;+\;(-1)^{n-1}\,P(A_{1}A_{2}\ldots A_{n}).}$

В ней вероятность суммы выражается через вероятности произведений событий, взятых по одному, по два, по три и так далее, с чередующимися знаками^[3].

⚠️Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ Для успешной сдачи ЕГЭ по теме «Сложение вероятностей» необходимо четко усвоить два основных правила: для несовместных событий (которые не могут произойти одновременно) вероятность суммы (объединения) равна сумме их вероятностей P(A∪B)=P(A)+P(B), а для совместных событий (которые могут наступить вместе) применяется формула P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B), где P(A∩B) — вероятность их одновременного наступления (пересечения). В случае, если события образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1, а для противоположных событий справедливо P(A)=1−P(A). Ключевое для практических задач — уметь правильно определить, являются ли события несовместными (например, выпадение 1 и 6 на кубике — несовместны) или совместными (например, выпадение чётного числа и числа больше 3 — совместны, так как 4 и 6 удовлетворяют обоим условиям). Также важно помнить, что правило сложения работает не только для двух, но и для любого конечного числа событий, а в случае независимых событий для вероятности их пересечения используется умножение. В заданиях ЕГЭ вас могут попросить найти вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из двух событий, или вероятность наступления одного из нескольких исходов (например, вероятность выпадения суммы очков, равной 7 или 11, при бросании двух костей). Часто эта тема встречается в задачах с использованием диаграмм Эйлера-Венна или таблиц сопряжённости. Систематизируйте через блок «несовместные → сложение (сумма) — совместные → сложение с вычитанием пересечения — противоположные → 1−P(A)» .