Сколь угодно большое

Утверждение

«${\displaystyle f(x)}$ неотрицательно при ${\displaystyle x}$ сколь угодно большом.»

является сокращением для:

«Для любого вещественного числа ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle f(x)}$ неотрицательно для некоторого значения ${\displaystyle x}$, большего, чем ${\displaystyle n}$».»

В обыденной речи термин «сколь угодно большой» (или «сколь угодно длинный» в соответствующем контексте) часто используется применительно к последовательностям чисел. Например, утверждение, что существуют «арифметические прогрессии простых чисел сколь угодно большой длины», не означает существование бесконечно длинной арифметической прогрессии простых чисел (таковой не существует), и не подразумевает существование какой-либо конкретной арифметической прогрессии простых чисел, которая была бы «сколь угодно длинной» в каком-либо смысле. Скорее, эта фраза указывает на то, что как бы велико ни было число «${\displaystyle n}$», существует арифметическая прогрессия простых чисел длины не менее «${\displaystyle n}$»^[1].

Аналогично термину «сколь угодно большой», можно определить выражение «${\displaystyle P(x)}$ выполняется для сколь угодно малых вещественных чисел» следующим образом:^[2]

${\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+},\,\exists x\in \mathbb {R} :|x|<\epsilon \land P(x)}$

Иными словами:

Как бы мало ни было число, найдётся число ${\displaystyle x}$, меньшее этого, для которого ${\displaystyle P(x)}$ выполняется.

Хотя эти понятия схожи, «сколь угодно большой» не эквивалентен «достаточно большой». Например, хотя верно, что простые числа могут быть сколь угодно большими (так как их бесконечно много, что доказывается в теореме Евклида), неверно, что все достаточно большие числа являются простыми.

В качестве другого примера, утверждение «${\displaystyle f(x)}$ неотрицательно при ${\displaystyle x}$ сколь угодно большом» можно записать так:

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {R} {\text{, }}\exists x\in \mathbb {R} {\text{ такое, что }}x>n\land f(x)\geq 0}$

Однако при использовании термина «достаточно большой» то же самое утверждение принимает вид:

${\displaystyle \exists n\in \mathbb {R} {\text{ такое, что }}\forall x\in \mathbb {R} {\text{, }}x>n\Rightarrow f(x)\geq 0}$

Кроме того, «сколь угодно большой» также не означает «бесконечный». Например, хотя простые числа могут быть сколь угодно большими, не существует бесконечно большого простого числа, поскольку все простые числа (как и все остальные целые числа) конечны.

В некоторых случаях фразы вроде «утверждение ${\displaystyle P(x)}$ истинно при ${\displaystyle x}$ сколь угодно большом» используются главным образом для усиления, как, например, в «${\displaystyle P(x)}$ истинно для любого ${\displaystyle x}$, как бы велико оно ни было». В этих случаях выражение «сколь угодно большой» не имеет приведённого выше смысла (то есть «как бы велико ни было число, найдётся 'некоторое' большее число, для которого ${\displaystyle P(x)}$ всё ещё выполняется»^[3]). В таком контексте употребление этого выражения фактически логически синонимично «для всех».