Системы и совокупности уравнений

• Система уравнений — если имеется несколько уравнений ${\displaystyle f_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0,f_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0,...,f_{m}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0}$, то можно объединить их в систему уравнений с помощью фигурной скобки, означающей, что решение системы удовлетворяет каждому её уравнению:

 ${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0\\f_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0\\\end{cases}}}$

• Совокупность уравнений — представляет собой объединение нескольких уравнений по следующему принципу:

чтобы совокупность выполнялась, достаточно, чтобы решение удовлетворяло одному из уравнений, (то есть это вертикальная форма оператора «или»): 
 ${\displaystyle \left[{\begin{array}{l}f_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0\\f_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0\end{array}}\right.}$

• Решение системы уравнений с ${\displaystyle n}$ переменными — упорядоченный набор из ${\displaystyle n}$ чисел, являющийся решением каждого из уравнений системы.
• Решить систему уравнений — найти все её решения или доказать, что их нет^[1].
• Решение совокупности уравнений — упорядоченный набор из ${\displaystyle n}$ чисел, удовлетворяющий хотя бы одному уравнению совокупности, но при этом остальные уравнения должны иметь смысл^[2].
• Линейное уравнение первой степени с двумя неизвестными ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ — уравнение вида:

 ${\displaystyle ax+by+c=0}$,
 где ${\displaystyle a,b}$ — коэффициенты, хотя бы один из которых отличен от нуля; ${\displaystyle c}$ — свободный член, ${\displaystyle x,y}$ — неизвестные.

• График линейного уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, каждая из которых является решением заданного уравнения ${\displaystyle (x;y)}$. Такие точки образуют график линейного уравнения, представляющего собой прямую.
• Равносильные системы уравнений — системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения. Системы уравнений, не имеющие решений, также считают равносильными.

Для решения систем уравнений с двумя переменными используются:

• Метод подстановки
• Метод сложения
• Графический метод

Пусть дана система уравнений с двумя переменными, составленная из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени:

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}-3xy-2y^{2}=2\\x+2y=1\\\end{cases}}}$

Алгоритм нахождения решения системы будет следующий:

1. Выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую;
2. Подставить полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего получают уравнение с одной переменной;
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной;
4. Найти соответствующие значения второй переменной^[3].

 1. Выразим из второго уравнения переменную ${\displaystyle x}$ через ${\displaystyle y}$ и получим: ${\displaystyle x=1-2y}$;
 2. Подставим в первое уравнение вместо ${\displaystyle x}$ выражение ${\displaystyle 1-2y}$, получим уравнение с переменной ${\displaystyle y}$:
${\displaystyle (1-2y)^{2}-3(1-2y)y-2y^{2}=2}$; 

3. Решив это уравнение, получаем: ${\displaystyle y_{1}=-{\dfrac {1}{8}},y_{2}=1}$; 

4. Найдём соответствующие значения ${\displaystyle x}$, подставив найденные значения ${\displaystyle y}$ в выражение ${\displaystyle x=1-2y}$.
Получим два решения: ${\displaystyle x_{1}=1{\dfrac {1}{8}},y_{1}=-{\dfrac {1}{8}}}$ и ${\displaystyle x_{2}=-1,y_{2}=1}$.
Ответ можно записать также в виде пар: ${\displaystyle \left(1{\frac {1}{4}};-{\frac {1}{8}}\right)}$, ${\displaystyle (-1;1)}$.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом сложения алгоритм нахождения решения следующий:

1. Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали в уравнениях противоположными числами
2. Сложить почленно левые и правые части уравнений системы;
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной;
4. Подставить значение найденной переменной в одно из уравнений и найти соответствующее значение другой переменной.

• Пример:

Пусть дана система линейных уравнений с двумя переменными:

 ${\displaystyle {\begin{cases}3x+2y=8\\3x-2y=4\\\end{cases}}}$
 Сложим уравнения: ${\displaystyle 6x=12\Rightarrow x=2}$; ${\displaystyle y=1}$.

При графическом методе строят графики линейных уравнений (прямые) и анализируют их расположение:

• если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений, причём координаты любой точки прямой являются решением системы;
• если прямые параллельны, то система не имеет решений;
• если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение, причём координаты точки пересечения прямых являются решением системы.

Пример:

Пусть дана система линейных уравнений с двумя переменными:

${\displaystyle {\begin{cases}2x-y=8\\3x+2y=5\\\end{cases}}}$

Решение:

1. Построим графики уравнений (Рис.1).

Рис.1

2. Найдём координаты точки пересечения прямых.

Построенные прямые пересекаются в точке с координатами (3; −2). Ответ: (3; −2).

Системы уравнений — фундаментальный инструмент в математике, позволяющий моделировать и решать множество практических задач. Владение различными методами решения, понимание классификации и свойств систем уравнений является ключевым для успешного изучения математики и подготовки к экзаменам. Правильный выбор метода и точные вычисления обеспечат эффективное и верное решение любой системы уравнений.