Система управления на основе данных

Системы управления, основанные на данных — это обширное семейство систем управления, в которых идентификация модели объекта и/или синтез регулятора выполняются полностью на основе экспериментальных данных, собранных с управляемого объекта^[1].

Во многих прикладных задачах управления построение математической модели объекта считается сложной задачей, требующей значительных усилий и времени от инженеров по процессу и управлению. Эту проблему решают методы, основанные на данных, которые подбирают модель системы по экспериментальным данным, выбирая её из определённого класса моделей. Инженер по управлению далее использует эту модель для синтеза регулятора. Однако даже при таком подходе найти простую и надёжную модель физической системы, учитывающую только те динамические свойства, которые важны для управления, оказывается непросто. Непосредственные (direct) методы, основанные на данных, позволяют настраивать регулятор из заданного класса без явной идентифицированной модели системы. Таким образом можно просто задавать нужные компоненты динамики объекта через функцию стоимости управления и исключать несущественные для управления динамические процессы.

Стандартный подход к синтезу систем управления организован в два этапа:

Идентификация модели направлена на оценку номинальной модели системы ${\widehat {G}}=G\left(q;{\widehat {\theta }}_{N}\right)$ , где $q$ — оператор единичного запаздывания (для представления в виде дискретных передаточных функций), а ${\widehat {\theta }}_{N}$ — вектор параметров $G$ , идентифицированных по набору из $N$ данных. Затем выполняется валидация, определяющая множество неопределённости $\Gamma$ , содержащее реальную систему $G_{0}$ с определённой вероятностью.
Синтез регулятора направлен на поиск регулятора $C$ , обеспечивающего устойчивость замкнутой системы и выполнение заданных характеристик с моделью ${\widehat {G}}$ .

Типичные задачи идентификации системы — максимально приблизить ${\widehat {G}}$ к $G_{0}$ и сделать $\Gamma$ как можно уже. Однако с точки зрения идентификации для управления важнее итоговое качество управления, а не качество самой модели.

Один из способов учёта неопределённости — синтезировать регулятор, обеспечивающий приемлемое качество работы на всех моделях из $\Gamma$ , включая $G_{0}$ . Это основной принцип робастного управления, предполагающего построение частотных описаний неопределённости процесса. Такой подход основывается на «худшем случае», а не на осреднении помех, из-за чего приводит к консервативным множествам неопределённости. Методы, основанные на данных, работают непосредственно с экспериментальными данными и позволяют избежать излишнего консерватизма.

Далее приводятся основные классификации систем управления, основанных на данных.

Косвенные и непосредственные методы

Существует множество методов управления системами. Принципиальное различие проводится между косвенными (indirect) и непосредственными (direct) методами проектирования регуляторов. В первом случае сохраняется двухэтапный подход: сначала идентифицируется модель, затем по ней настраивается регулятор. Основная проблема — регулятор строится на основе оценённой модели ${\widehat {G}}$ (принцип эквивалентности достоверности), но на практике ${\widehat {G}}\neq G_{0}$ . Чтобы избежать этой проблемы, непосредственные методы напрямую сопоставляют экспериментальные данные параметрам регулятора, минуя шаг явной идентификации модели.

Итерационные и неитерационные методы

Ещё одно важное различие — между итерационными и неитерационными (или разовыми) методами. В первом случае для оценки параметров регулятора требуются повторяющиеся итерации, при которых оптимизация осуществляется на основе результата предыдущей итерации, и оценка постепенно уточняется. Такой подход удобен для on-line-реализации (см. ниже). Во втором случае настройка (оптимизация) регулятора выполняется однократно — по одной задаче оптимизации. Это особенно важно для систем, где невозможны или нежелательны многократные эксперименты по сбору данных (например, из-за ограничений по стоимости). В таких случаях стоит использовать методы, способные выдать результат по единственному набору данных; этот подход часто реализуется off-line (см. ниже).

On-line и off-line методы

В практических промышленных задачах данные могут поступать в открытом или замкнутом цикле непрерывно. On-line методы, основанные на данных, используют такую информацию для повышения качества идентификации или работы регулятора при каждом новом её поступлении. В отличие от них, off-line методы работают с пакетами данных, которые могут быть собраны только единожды или с редко обновляемыми интервалами.

Метод итерационной настройки обратной связи (IFT, от англ. Iterative Feedback Tuning) введён в 1994 году^[2] и вырос из понимания того, что при идентификации для задачи управления каждая итерация основана на (ошибочном) принципе достоверности.

IFT — это безмодельная технология для итерационной оптимизации параметров регулятора заданного порядка; параметры обновляются с использованием информации от работы системы в замкнутом контуре.

Пусть $y^{d}$ — требуемый отклик системы на опорный сигнал $r$ ; ошибка следования определяется как ${\tilde {y}}(\rho )=y(\rho )-y^{d}$ . Задача синтеза формулируется как минимизация функционала:

J(\rho )={\frac {1}{2N}}\sum _{t=1}^{N}E\left[{\tilde {y}}(t,\rho )^{2}\right].

Для минимизации функции цели может быть применён квазиньютоновский метод, то есть градиентный спуск такого вида:

\rho _{i+1}=\rho _{i}-\gamma _{i}R_{i}^{-1}{\frac {d{\widehat {J}}}{d\rho }}(\rho _{i}).

Здесь $\gamma _{i}$ — шаг поиска, $R_{i}$ — положительно определённая матрица, ${\frac {d{\widehat {J}}}{d\rho }}$ — приближение градиента; точное выражение для градиента:

{\frac {dJ}{d\rho }}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left[{\tilde {y}}(t,\rho ){\frac {\delta y}{\delta \rho }}(t,\rho )\right].

Величина ${\frac {\delta y}{\delta \rho }}(t,\rho )$ определяется согласно следующей трёхшаговой методике:

Обычный эксперимент: проводится эксперимент с замкнутой системой, регулятор $C(\rho )$ , опорный сигнал $r$ ; собираются $N$ измерений выхода $y(\rho )$ , обозначаемых $y^{(1)}(\rho )$ .
Градиентный эксперимент: опыт с той же системой и регулятором, но опорный сигнал 0 ( $r=0$ ); подаётся сигнал $r-y^{(1)}(\rho )$ , который плюсуется к управляющему воздействию после регулятора и поступает на объект. Фиксируется выход $y^{(2)}(\rho )$ .
Принимается приближённый градиент: ${\frac {\delta {\widehat {y}}}{\delta \rho }}(\rho )={\frac {\delta C}{\delta \rho }}(\rho )y^{(2)}(\rho )$ .

Выбор $R_{i}$ существенно влияет на скорость сходимости алгоритма; если ${\tilde {y}}$ мало, хорошим выбором будет аппроксимация по направлению Гаусса–Ньютона:

R_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}{\frac {\delta {\widehat {y}}}{\delta \rho }}(\rho _{i}){\frac {\delta {\widehat {y}}^{T}}{\delta \rho }}(\rho _{i}).

Неитерационная корреляционная настройка (nCbT, от англ. noniterative correlation-based tuning) — это разовый (неитерационный) метод синтеза регуляторов фиксированной структуры на основе данных^[3]. Этот подход позволяет однократно рассчитать параметры регулятора с использованием одного набора данных.

Пусть $G$ — неизвестный устойчивый SISO-объект (линейная стационарная система), $M$ — заданная пользователем модель требуемого поведения, $F$ — заданная функция-вес. Фиксированная структура LTI-регулятора задаётся как $K(\rho )=\beta ^{T}\rho$ , где $\rho \in \mathbb {R} ^{n}$ , $\beta$ — вектор базисных функций. Пусть $K^{*}$ — идеальный регулятор произвольной структуры, обеспечивающий замкнутую систему с функцией $M$ при воздействии на $G$ .

Цель — минимизация функции качества:

J(\rho )=\left\|F{\bigg (}{\frac {K^{*}G-K(\rho )G}{(1+K^{*}G)^{2}}}{\bigg )}\right\|_{2}^{2}.

Функция $J(\rho )$ является выпуклым приближением функции качества задачи моделирования-в-образе-эталона при допущении ${\frac {1}{(1+K(\rho )G)}}\approx {\frac {1}{(1+K^{*}G)}}$ .

Если $G$ — устойчива и минимально-фазовая, то задача минимизации нормы $\varepsilon (t)$ по схеме на рисунке эквивалентна исходной задаче.

Вход $r(t)$ должен быть возбуждающим, $v(t)$ — порождаться устойчивым процессом данных; сигналы $r(t)$ и $v(t)$ некоррелированы в опыте с разомкнутой системой. Соответственно, идеальная ошибка $\varepsilon (t,\rho ^{*})$ также некоррелирована с $r(t)$ . Задача управления сведена к поиску $\rho$ , при котором $r(t)$ и $\varepsilon (t,\rho ^{*})$ некоррелированы.

Вектор инструментальных переменных $\zeta (t)$ вводится как

\zeta (t)=[r_{W}(t+\ell _{1}),r_{W}(t+\ell _{1}-1),\ldots ,r_{W}(t),\ldots ,r_{W}(t-\ell _{1})]^{T}

,

где $\ell _{1}$ достаточно велико, $r_{W}(t)=Wr(t)$ , $W$ — выбранный фильтр.

Корреляционная функция:

f_{N,\ell _{1}}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\zeta (t)\varepsilon (t,\rho )

,

и задача оптимизации:

{\widehat {\rho }}={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J_{N,\ell _{1}}(\rho )={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}f_{N,\ell _{1}}^{T}f_{N,\ell _{1}}.

Пусть $\phi _{r}(\omega )$ — спектр $r(t)$ . Тогда при некоторых условиях, если

W(e^{-j\omega })={\frac {F(e^{-j\omega })(1-M(e^{-j\omega }))}{\phi _{r}(\omega )}},

то

\lim _{N,\ell _{1}\to \infty ,\ell _{1}/N\to \infty }{\widehat {\rho }}=\rho ^{*}.

Ограничение по устойчивости

Нет гарантии, что регулятор $K$ , минимизирующий $J_{N,\ell _{1}}$ , будет устойчивым. Неустойчивость возможна в следующих случаях:

Если $G$ не минимально-фазова, то $K^{*}$ может приводить к сокращению передаточных нулей в правой полуплоскости.
Если $K^{*}$ (даже будучи стабилизирующим) недостижима, то $K(\rho )$ может не быть стабилизирующим.
Из-за шума измерений даже если $K^{*}=K(\rho )$ — стабилизирующий, оценённый по данным ${\widehat {K}}(\rho )$ может быть не таковым.

Пусть $K_{s}$ — стабилизирующий регулятор, $M_{s}={\frac {K_{s}G}{1+K_{s}G}}$ — замкнутая передаточная функция. Обозначим

\Delta (\rho ):=M_{s}-K(\rho )G(1-M_{s})

\delta (\rho ):=\left\|\Delta (\rho )\right\|_{\infty }.

Теорема

Регулятор $K(\rho )$ стабилизирует объект $G$ , если

$\Delta (\rho )$ устойчива
$\exists \delta _{N}\in (0,1)$ таки, что $\delta (\rho )\leq \delta _{N}.$

Первое условие выполняется, если

$K(\rho )$ устойчива,
$K(\rho )$ содержит интегратор (он компенсируется).

Задача моделирования-в-образе-эталона с ограничением устойчивости:

\rho _{s}={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J(\rho )

{\text{s.t. }}\delta (\rho )\leq \delta _{N}.

Выпуклая оценка $\delta (\rho )$ по данным может быть найдена с помощью дискретного преобразования Фурье.

Обозначим

{\begin{aligned}&{\widehat {R}}_{r}(\tau )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}r(t-\tau )r(t),\quad \tau =-\ell _{2},\ldots ,\ell _{2}\\&{\widehat {R}}_{r\varepsilon }(\tau )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}r(t-\tau )\varepsilon (t,\rho ),\quad \tau =-\ell _{2},\ldots ,\ell _{2}.\end{aligned}}

Для устойчивых минимально-фазовых объектов задача выпуклой оптимизации по данным формулируется так:

{\begin{aligned}{\widehat {\rho }}&={\underset {\rho \in D_{k}}{\operatorname {arg\,min} }}J_{N,\ell _{1}}(\rho )\\&{\text{при усл.}}\\&{\bigg |}\sum _{\tau =-\ell _{2}}^{\ell _{2}}{\widehat {R}}_{r\varepsilon }(\tau ,\rho )e^{-j\tau \omega _{k}}{\bigg |}\leq \delta _{N}{\bigg |}\sum _{\tau =-\ell _{2}}^{\ell _{2}}{\widehat {R}}_{r}(\tau ,\rho )e^{-j\tau \omega _{k}}{\bigg |}\\\omega _{k}&={\frac {2\pi k}{2\ell _{2}+1}},\quad k=0,\ldots ,\ell _{2}+1.\end{aligned}}

Виртуальная настройка обратной связи (VRFT, от англ. Virtual Reference Feedback Tuning) — неитерационный метод синтеза регулятора фиксированной структуры по данным. Этот подход позволяет однократно определить параметры регулятора по единому набору данных.

VRFT впервые предложен в работе^[4] и был затем распространён на LPV-системы^[5]. VRFT также базируется на идеях из^[6] (метод $VRD^{2}$ ).

Основная идея: задаётся желаемая модель замкнутой системы $M$ , и её инверсная динамика используется для получения виртуального опорного сигнала $r_{v}(t)$ по измеренному выходу $y(t)$ .

Виртуальные сигналы: $r_{v}(t)=M^{-1}y(t)$ и $e_{v}(t)=r_{v}(t)-y(t).$

Оптимальный регулятор без учёта шума находится решением следующей задачи:

{\widehat {\rho }}_{\infty }={\underset {\rho }{\operatorname {arg\,min} }}\lim _{N\to \infty }J_{vr}(\rho )

где функция цели:

J_{vr}^{N}(\rho )={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(u(t)-K(\rho )e_{v}(t)\right)^{2}.

↑ Bazanella, A.S., Campestrini, L., Eckhard, D. (2012). Data-driven controller design: the $H_{2}$ approach. Springer, ISBN 978-94-007-2300-9, 208 стр.
↑ Hjalmarsson, H., Gevers, M., Gunnarsson, S., & Lequin, O. (1998). Iterative feedback tuning: theory and applications. IEEE Control Systems, 18(4), 26–41.
↑ van Heusden, K., Karimi, A. and Bonvin, D. (2011). Data-driven model reference control with asymptotically guaranteed stability. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 25: 331–351. doi:10.1002/acs.1212
↑ Campi, Marco C., Andrea Lecchini, and Sergio M. Savaresi. "Virtual reference feedback tuning: a direct method for the design of feedback controllers." Automatica 38.8 (2002): 1337–1346.
↑ Formentin, S., Piga, D., Tóth, R., & Savaresi, S. M. (2016). Direct learning of LPV controllers from data. Automatica, 65, 98–110.
↑ Guardabassi, Guido O., and Sergio M. Savaresi. "Approximate feedback linearization of discrete-time non-linear systems using virtual input direct design." Systems & Control Letters 32.2 (1997): 63–74.

Bazanella, A.S., Campestrini, L., Eckhard, D. Data-driven controller design: the H2 approach. Springer, 2012. ISBN 978-94-007-2300-9, 208 с.
An Introduction to Data-Driven Control Systems. Ali Khaki-Sedigh. ISBN 978-1-394-19642-5. Wiley-IEEE Press, ноябрь 2023. 384 с.

VRFT toolbox для MATLAB

[1] Bazanella, A.S., Campestrini, L., Eckhard, D. (2012). Data-driven controller design: the $H_{2}$ approach. Springer, ISBN 978-94-007-2300-9, 208 стр.

[2] Hjalmarsson, H., Gevers, M., Gunnarsson, S., & Lequin, O. (1998). Iterative feedback tuning: theory and applications. IEEE Control Systems, 18(4), 26–41.

[3] van Heusden, K., Karimi, A. and Bonvin, D. (2011). Data-driven model reference control with asymptotically guaranteed stability. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 25: 331–351. doi:10.1002/acs.1212

[4] Campi, Marco C., Andrea Lecchini, and Sergio M. Savaresi. "Virtual reference feedback tuning: a direct method for the design of feedback controllers." Automatica 38.8 (2002): 1337–1346.

[5] Formentin, S., Piga, D., Tóth, R., & Savaresi, S. M. (2016). Direct learning of LPV controllers from data. Automatica, 65, 98–110.

[6] Guardabassi, Guido O., and Sergio M. Savaresi. "Approximate feedback linearization of discrete-time non-linear systems using virtual input direct design." Systems & Control Letters 32.2 (1997): 63–74.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Система управления на основе данных

Обзор

Косвенные и непосредственные методы

Итерационные и неитерационные методы

On-line и off-line методы

Итерационная настройка обратной связи

Неитерационная корреляционная настройка (nCbT)

Ограничение по устойчивости

Виртуальная настройка обратной связи (VRFT)

Примечания

Литература

Ссылки

Категории