Символ оператора

Понятие символа оператора тесно связано с задачей введения функций от операторов, в некотором смысле аналогичных заданным функциям вещественных или комплексных переменных. В случае полиномов такая аналогия очевидна, нужно просто подставить в них операторы вместо переменных. Однако, операторы в общем случае не коммутируют и необходимо задать порядок их действия, что можно сделать с помощью фейнмановских номеров, например:

${\displaystyle ({\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}})^{2},}$

означает, что оператор ${\displaystyle A}$ действует первый, а оператор ${\displaystyle B}$ вторым, то есть

${\displaystyle ({\overset {1}{A}}+{\overset {2}{B}})^{2}={\overset {1}{A^{2}}}+2{\overset {1}{A}}{\overset {2}{B}}+{\overset {2}{B^{2}}}=A^{2}+2BA+B^{2}.}$

Пусть задана операторная алгебра ${\displaystyle \mathbb {A} }$

${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in \mathbb {A} ,\quad n\in \mathbb {N} .}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$ — множество многочленов от ${\displaystyle n}$ переменных. Пусть определено отображение

${\displaystyle \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}:\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\rightarrow \mathbb {A} ,}$

которое сопоставляет многочлену ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]}$:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant m}C_{\alpha _{1}\dots \alpha _{n}}x_{1}^{\alpha _{1}}\dots x_{n}^{\alpha _{n}}}$

оператор

${\displaystyle f({\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}(f)=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant m}C_{\alpha _{1}\dots \alpha _{n}}A_{n}^{\alpha _{n}}\dots A_{1}^{\alpha _{1}}.}$

Функция ${\displaystyle f}$ называется символом оператора ${\displaystyle \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}(f).}$

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ — некоторый класс функций от переменных ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, содержащий полиномы ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\subseteq {\mathcal {F}}_{n}}$. Пусть задано отображение

${\displaystyle \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}:{\mathcal {F}}_{n}\rightarrow \mathbb {A} }$

Со следующими свойствами:

1. Отображение ${\displaystyle \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}}$ линейно.
2. ${\displaystyle \mu _{A}}$ гомоморфизм алгебр с единицей, причём если ${\displaystyle f(x)=x}$, то ${\displaystyle \mu _{A}(f)=A}$.
3. Если ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\dots f_{n}(x_{n})}$, то ${\displaystyle \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}(f)=\mu _{A_{n}}(f_{n})\dots \mu _{A_{1}}(f_{1}).}$
4. ${\displaystyle \forall f\in \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\quad \mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}(f)=\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}^{p}(f).}$

Функция ${\displaystyle f}$ называется символом оператора ${\displaystyle f({\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\mu _{{\overset {1}{A_{1}}},\dots ,{\overset {n}{A_{n}}}}(f).}$