Сечение куба, призмы, пирамиды

Для решения практически всех задач из раздела стереометрии необходимы знания и навыки в построении сечения объёмных тел.

Построить плоскость можно:

• с помощью трёх точек;
• с помощью двух пересекающихся прямых;
• с помощью прямой и точки, которая не лежит на прямой;
• с помощью двух параллельных прямых.

Секущей плоскостью пирамиды, призмы или куба называется такая плоскость, по обе стороны которой будут иметься точки объёмного тела.

Сечение геометрического тела — фигура, составленная общими точками секущей плоскости и данного тела.

Метод следов

Метод включает три важных пункта: сначала нужно построить линию пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью основания многогранника; затем найти точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника, а после этого построить и заштриховать сечение. В основе построения сечения методом следов лежат две теоремы:

1. если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости;
2. если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна первой прямой

Метод вспомогательных сечений

Метод применяется при построении сечений в тех случаях, когда неудобно находить след секущей плоскости. Например, след получается очень далеко от заданной фигуры.

Комбинированный метод

Суть метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с методом следов или методом вспомогательных сечений.

Чтобы построить сечение, необходимо выделить минимум три точки, в которых секущая плоскость пересекает объёмное тело, а затем соединить их.

Чтобы построить сечение объёмной фигуры, необходимо решить две задачи:

1. Найти линии, по которым пересекаются две плоскости.

Для этого необходимо рассмотреть секущую плоскость и плоскость грани объёмной фигуры. Найти хотя бы две точки, в которых эти плоскости пересекаются. После этого точки необходимо соединить прямой. Аналогичные построения выполнить со всеми гранями, которые пересекаются с секущей плоскостью.

2. Найти точку, в которой некоторая прямая пересекает плоскость.

Данная задача сводится к обратному. Рассматриваем грани объёмной фигуры, находим точки, в которых данные грани пересекают секущую плоскость, и ставим на этом месте точки. После нахождения всех точек пересечения, соединяем их последовательно.