Сепаратриса

Простым примером фазового пространства с сепатарисой является математический маятник. Его движение описывается следующим уравнением:

${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0}$,

где ${\displaystyle \ell }$ — длина маятника, ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения, ${\displaystyle \theta }$ угол отклонения от вертикали. В такой системе, вследствие сохранения энергии, гамильтониан является интегралом движения:

${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta =inv}$.

Фазовые траектории зависят от значения H. При ${\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$ решений нет, поскольку угол ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ должен быть вещественным. При ${\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}}$ фазовые траектории имеют замкнутый вид, что соответствует финитному колебательному движению маятника. Наконец, при ${\displaystyle H>{\frac {g}{\ell }}}$ фазовые тракетории незамкнуты, маятник совершает вращательное движение. Между двумя областями с разным характером движения имеется сепаратриса, соответствующая ${\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}$. Внутри сепаратрисы движение колебательное, и период растёт с ростом значения H (то есть с амплитудой). Движение по сепаратрисе происходит за бесконечное время, маятник замедляется при приближении к седловой точке^[1].