Связь температуры газа со средней кинетической энергией его частиц (ЕГЭ-ОГЭ)

Согласно молекулярно-кинетической теории, температура является мерой средней кинетической энергии частиц^[1].

Можно показать, что при установлении теплового равновесия между двумя газами выравниваются средние кинетические энергии их частиц. С другой стороны, при этом становятся равны и температуры газов. Следовательно, температура — это мера средней кинетической энергии частиц вещества, а также характеристика внутреннего состояния макроскопической системы — состояния теплового равновесия.

Опытным путём установлено, что при тепловом равновесии отношение давления к концентрации для всех газов одинаково. То есть отношение:

${\displaystyle {\frac {p}{N}}={\frac {p\cdot v}{n}}=\Theta }$

обладает свойствами температуры. Однако единица измерения ${\displaystyle \Theta }$ — джоуль, а температуру измеряют в градусах. Поэтому указанно отношение принято считать пропорциональным абсолютной температуре, измеряемой в кельвинах:

${\displaystyle {\frac {p}{N}}={\frac {p\cdot v}{n}}=kT}$.

Коэффициент пропорциональности в этой формуле называется постоянной Больцмана. Она связывает температуру в энергетических единицах (джоулях) с температурой в кельвинах:

${\displaystyle \Theta =kT}$.

Числовое значение постоянной Больцмана ${\displaystyle k=1,38\cdot 10^{-23}}$ Дж/К. Тогда основное уравнение МКТ можно записать в виде:

${\displaystyle p=nkT}$.

Связь средней кинетической энергии частиц и абсолютной температуры газа задаётся формулой:

${\displaystyle E={\frac {3}{2}}kT}$.

С учётом того что ${\displaystyle E=m_{0}{\frac {v^{2}}{2}}}$, можно получить выражение для средней квадратической скорости частиц:

${\displaystyle m_{0}{\frac {v^{2}}{2}}={\frac {3}{2}}kT}$, откуда:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {3kT}{m_{0}}}}}$.

Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо предварительно вычислить массу частицы ${\displaystyle m_{0}}$. Однако этого можно избежать, домножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на число Авогадро ${\displaystyle N_{A}}$:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {3kN_{A}T}{m_{0}N_{A}}}}}$.

В знаменателе ${\displaystyle m_{0}N_{A}=\mu }$ — молярная масса газа. В числителе стоит произведение двух констант, которое также является константой:

${\displaystyle R=kN_{A}=1,38\cdot 10^{-23}\cdot 6,02\cdot 10^{23}=8,31}$ Дж/(моль·К).

Константа ${\displaystyle R}$ называется универсальной газовой постоянной.

Теперь формула для средней квадратической скорости приобретает гораздо более удобный для практических вычислений вид: ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {3RT}{\mu }}}}$.