Связность (некоммутативная геометрия)

Пусть ${\displaystyle A}$ — коммутативное кольцо и ${\displaystyle P}$ — ${\displaystyle A}$-модуль. Существуют несколько эквивалентных определений связности на ${\displaystyle P}$^[2]. Пусть ${\displaystyle D(A)}$ — модуль дифференцирований кольца ${\displaystyle A}$. Связность на ${\displaystyle A}$-модуле ${\displaystyle P}$ определяется как морфизм ${\displaystyle A}$-модулей

${\displaystyle \nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),}$

такой что дифференциальные операторы первого порядка ${\displaystyle \nabla _{u}}$ на ${\displaystyle P}$ удовлетворяют правилу Лейбница:

${\displaystyle \nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.}$

Связность на модуле над коммутативным кольцом всегда существует. Кривизна связности ${\displaystyle \nabla }$ определяется как дифференциальный оператор нулевого порядка:

${\displaystyle R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}.}$

На модуле ${\displaystyle P}$ для всех ${\displaystyle u,u'\in D(A)}$.

Если ${\displaystyle E\to X}$ — векторное расслоение, существует взаимно однозначное соответствие между линейными связностями ${\displaystyle \Gamma }$ на ${\displaystyle E\to X}$ и связностями ${\displaystyle \nabla }$ на ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$-модуле сечений of ${\displaystyle E\to X}$. При этом, ${\displaystyle \nabla }$ соответствует ковариантному дифференциалу связности на ${\displaystyle E\to X.}$

Понятие связности на коммутативном кольце непосредственным образом переносится на модули над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуированными алгебрами^[3]. Это — случай суперсвязностей в супергеометрии на градуированных многообразиях и супервекторных расслоениях. Суперсвязности всегда существуют.

Если ${\displaystyle A}$ — некоммутативное кольцо, связности на левых и правых ${\displaystyle A}$-модулях определяются так же, как и на модулях над коммутативным кольцом^[4]. Однако такие связности не обязательно существуют.

В отличие от связностей на левых и правых модулях, проблема возникает с определением связности на ${\displaystyle R-S}$-бимодулях над некоммутативными кольцами ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle S}$. Существуют различные определения таких связностей^[5]. Приведём одно из них. Связность на ${\displaystyle R-S}$-бимодуле ${\displaystyle P}$ определяется как морфизм бимодулей

${\displaystyle \nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),}$

который удовлетворяет правилу Лейбница:

${\displaystyle \nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S,\quad p\in P.}$