Свойства степени

• Степень с натуральным показателем — произведение ${\displaystyle n}$ множителей, каждый из которых равен ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n}}$, где ${\displaystyle a}$ — основание степени;
${\displaystyle n}$ — показатель степени (${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$).

• Степень с рациональным показателем — рациональной степенью ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ (где ${\displaystyle m}$ — целое, а ${\displaystyle n}$ — натуральное) действительного числа ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a>0)}$ называется число:

${\displaystyle ({\sqrt[{n}]{a}})^{m}=(a^{\tfrac {1}{n}})^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\tfrac {m}{n}}}$.

• Степень с действительным показателем — для записи действительного числа ${\displaystyle b}$ в виде бесконечной десятичной дроби ${\displaystyle b=N,n_{1}n_{2}...n_{m}...}$ рассматривают ${\displaystyle \{{\underline {b_{k}}}\}}$ — последовательность десятичных дробей ${\displaystyle k}$-го порядка:

 ${\displaystyle \{{\underline {b_{k}}}\}:{\underline {b_{1}}}=N,n_{1};{\underline {b_{2}}}=N,n_{1}n_{2};...,{\underline {b_{k}}}=N,n_{1}n_{2}...n_{k}}$

Образуем бесконечную последовательность ${\displaystyle a^{\underline {b_{1}}};a^{\underline {b_{2}}};...,a^{\underline {b_{k}}};...}$ Предел этой последовательности обозначается ${\displaystyle a^{b}}$ и представляет собой действительную степень ${\displaystyle b}$ числа ${\displaystyle a}$.

1. Произведение степеней с одинаковым основанием:

  ${\displaystyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}$.

2. Частное степеней с одинаковым основанием:

  ${\displaystyle {\dfrac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}}$, при ${\displaystyle a\neq 0}$.

3. Возведение в степень:

  ${\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\cdot m}}$.

4. Возведение в степень произведения:

  ${\displaystyle (ab)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}$.

5. Возведение в степень дроби:

  ${\displaystyle \left({\dfrac {a}{b}}\right)^{n}={\dfrac {a^{n}}{b^{n}}}}$, при ${\displaystyle b\neq 0}$.

6. Степень с нулевым показателем:

  ${\displaystyle a^{0}=1}$, при ${\displaystyle a\neq 0}$.

7. Отрицательный показатель степени:

  ${\displaystyle a^{-n}={\dfrac {1}{a^{n}}}}$, при ${\displaystyle a\neq 0}$.

• Для любых рациональных чисел ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle s}$ и любых чисел ${\displaystyle a\geqslant 0}$ и ${\displaystyle b\geqslant 0}$ выполняются следующие равенства:

${\displaystyle a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s};{\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s};(a^{r})^{s}=a^{rs};(ab)^{r}=a^{r}\cdot b^{r};{\biggl (}{\frac {a}{b}}{\biggr )}^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}}$.

• При сравнении степеней верны неравенства:

Если ${\displaystyle r}$ — рациональное число и ${\displaystyle 0<a<b}$, то ${\displaystyle a^{r}<b^{r}}$ при ${\displaystyle r>0}$ и ${\displaystyle a^{r}>b^{r}}$ при ${\displaystyle r<0}$.

Для любых рациональных чисел ${\displaystyle r}$  и ${\displaystyle s}$ из неравенства ${\displaystyle r>s}$ следует, что ${\displaystyle a^{r}>a^{s}}$ при ${\displaystyle a>1}$ и ${\displaystyle a^{r}<a^{s}}$ при ${\displaystyle 0<a<1}$.

• Из определения числа ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a>0)}$ и действительных чисел ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ следуют следующие равенства:

${\displaystyle a^{\alpha }\cdot a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };{\frac {a^{\alpha }}{a^{\beta }}}=a^{\alpha -\beta };(a^{\alpha })^{\beta }=a^{\alpha \beta };(ab)^{\alpha }=a^{\alpha }\cdot b^{\alpha };{\biggl (}{\frac {a}{b}}{\biggr )}^{\alpha }={\frac {a^{\alpha }}{b^{\alpha }}}}$.

• При вещественных показателях степени свойства сохраняются:

  Для любого действительного числа ${\displaystyle p}$ и положительного ${\displaystyle a>0}$ определено значение ${\displaystyle a^{p}}$.
  Пример: ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1{,}4142}$, тогда ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}\approx 2^{1{,}4142}\approx 2{,}6651}$.

• Переход к пределу: если ${\displaystyle p_{n}\to p}$, то ${\displaystyle a^{p_{n}}\to a^{p}}$.

1. Упрощение выражения:

Упростить ${\displaystyle a^{5}\cdot a^{-2}}$.
Решение:
    ${\displaystyle a^{5}\cdot a^{-2}=a^{5+(-2)}=a^{3}}$.
    Ответ: ${\displaystyle a^{3}}$.

2. Вычисление степени с отрицательным показателем:

  Вычислить ${\displaystyle 3^{-2}}$.
  Решение:
    ${\displaystyle 3^{-2}={\dfrac {1}{3^{2}}}={\dfrac {1}{9}}}$.
  Ответ: ${\displaystyle {\dfrac {1}{9}}}$.

Понимание и умение применять свойства степени являются фундаментальными навыками в математике. Они облегчают работу с алгебраическими выражениями, позволяют решать уравнения и проводить преобразования. Важно внимательно следить за условиями применения свойств и корректно использовать их в различных ситуациях.