Рёберно k-связный граф

Пусть ${\displaystyle G=(V,E)}$ — любой граф. Если ${\displaystyle G^{\prime }=(V,E\setminus X)}$ связен для всех ${\displaystyle X\subseteq E}$ при ${\displaystyle |X|<k}$, то ${\displaystyle G}$ называется k-рёберно связен.

• Если граф является рёберно k-связным, то он также и рёберно m-связен при всех m < k.
• Связный граф это то же, что и рёберно 1-связный граф.

• Минимальная степень вершин рёберно k-связного графа не меньше k.
• Критический граф с хроматическим числом >k является рёберно k-связным.

Существует полиномиальный по времени алгоритм определения наибольшего k, для которого граф G является k-рёберно-связным. В качестве простого алгоритма можно использовать следующий: для любой пары вершин (u, v) определим максимальный поток из u в v с пропускной способностью всех рёбер, равной единице в обоих направлениях. Граф является k-рёберно-связным, тогда и только тогда, когда максимальный поток из u в v не меньше k для любой пары (u, v). Таким образом k является наименьшим u-v-потоком среди всех пар (u, v).

Если n — число вершин в графе, этот простой алгоритм работает за ${\displaystyle O(n^{2})}$ итераций алгоритма максимального потока, который, в свою очередь, решает задачу нахождения потока за время ${\displaystyle O(n^{3})}$. Таким образом, общая сложность алгоритма равна ${\displaystyle O(n^{5})}$.

Улучшенный алгоритм решает задачу максимального потока для любой пары (u, v), где u — произвольная фиксированная вершина, а v пробегает все оставшиеся вершины. Этот алгоритм уменьшает сложность до ${\displaystyle O(n^{4})}$. Если существует разрез размером меньше k, он отделяет u от некоторых других вершин. Можно улучшить алгоритм, если применить алгоритм Габова, работающий за время ${\displaystyle O(n^{3})}$^[1].

Связанная задача, нахождение минимального k-рёберно-связного подграфа графа G (то есть выбрать насколько можно мало рёбер из G, которые образуют k-рёберно-связный подграф) является NP-трудной для ${\displaystyle k\geq 2}$^[2].