Ряд 1+1+1+1+...

1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ — расходящийся ряд, так как последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела, то есть неограниченно растёт при стремлении ${\displaystyle n}$ к бесконечности.

Последовательность 1 ⁿ можно рассматривать как геометрическую прогрессию со знаменателем 1. Для некоторых других расходящихся геометрических рядов, включая ряд Гранди со знаменателем −1 и ряд 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ со знаменателем 2, можно использовать общее решение для суммы геометрической прогрессии с основанием 1 и знаменателем ${\displaystyle r}$, равное ${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}}$, но этот метод суммирования не работает для 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ , так как в этом случае знаменатель прогрессии равен 1 и знаменатель дроби обращается в ноль .

Вместе с рядом Гранди, ряд 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ — один из двух геометрических рядов с рациональным отношением, который расходится как для действительных чисел, так и для всех систем p -адических чисел.

В контексте расширенной действительной числовой прямой

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \,,}$

так как последовательность частичных сумм ряда монотонно возрастает и не имеет предела.

В приложениях теоретической физики сумму n⁰ можно интерпретировать с помощью регуляризации дзета-функции, как значение при s = 0 дзета-функции Римана^[1]:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,.}$

Хотя обе приведённые выше формулы недействительны при нуле, но аналитическое продолжение имеет вид:

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)}$

Учитывая, что Γ(1) = 1, получаем:

${\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}}$

где разложение в степенной ряд для ζ(s), при s = 1 следует, поскольку ζ (s) имеет там простой полюс остатка 1, и в этом случае 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = ζ(0) = −12^[2] .