Ров Гаусса

Нерешённые проблемы математики: Можно ли на комплексной плоскости «уйти в бесконечность», переходя от одного гауссова простого числа к другому, делая шаги ограниченной длины?

Задача о рвах Гаусса в теории чисел спрашивает, можно ли найти бесконечную последовательность простых гауссовых чисел, в которой разность двух последовательных чисел в последовательности ограничена. Более красочно можно представить гауссовы простые числа как камни в море комплексных чисел и вопрос стоит в том, можно ли по этим камням прогуляться не замочив ноги от начала координат в бесконечность прыжками ограниченной длины. Задачу поставил в 1962 году Бэзил Гордон (хотя она иногда приписывалась ошибочно Эрдёшу) и она остаётся нерешённой^[1]. Для обычных простых чисел такая последовательность невозможна — из теоремы о распределении простых чисел следует, что существуют разрывы произвольной длины в последовательности простых чисел и существует элементарное прямое доказательство этого факта: для любого числа n в ряду из n − 1 последовательных чисел n! + 2, n! + 3, …, n! + n все числа составные^[1].

Задача поиска пути между двумя гауссовыми простыми числами, минимизирующего максимальный прыжок, является вариантом задачи о минимаксном пути, а размер шага оптимального пути равен ширине самого широкого рва между двумя простыми числами, где ров может быть определён путём деления простых числе на два подмножества и ширина рва равна расстоянию между ближайшей парой элементов (по одному из каждого подмножества). Тогда задачу о рве Гаусса можно перефразировать в другом, но эквивалентном виде: существует ли конечная граница ширины рвов, имеющих конечное число простых чисел со стороны начала координат^[1]?

Компьютерный поиск показал, что начало координат отделено от бесконечности рвом ширины 6^[2]. Известно, что для любого положительного числа k существуют гауссовы простые, для которых ближайшее соседнее число находится на расстоянии k или больше. Фактически, для поиска таких чисел можно ограничиться числами на вещественной оси. Например, число 20785207 окружено рвом шириной 17. Таким образом, определённо существуют рвы произвольной ширины, но они не обязательно отделяют начало координат от бесконечности^[1].