Развёрнутая запись целых и дробных чисел в позиционной системе счисления

• Основание системы счисления (b) — количество различных цифр, используемых в системе. Например, в десятичной системе b = 10, цифры от 0 до 9.
• Разряд — позиция цифры в числе, определяющая её вес как степень основания.
• Цифра — символ, обозначающий число от 0 до b−1 в заданной системе счисления.

Целое число в системе с основанием b представляется в виде:

${\displaystyle N=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\dots +a_{1}b^{1}+a_{0}b^{0},}$

где:

• a_k — цифры числа, такие что ${\displaystyle 0\leq a_{k}<b}$;
• n — номер старшего разряда.

Для дробных чисел используются отрицательные степени основания:

${\displaystyle N=a_{n}b^{n}+\dots +a_{0}b^{0}+a_{-1}b^{-1}+a_{-2}b^{-2}+\dots }$

Общая форма записи:

${\displaystyle N=\sum _{k=-m}^{n}a_{k}b^{k},}$

где m — количество знаков после разделителя.

• Двоичная (b = 2): использует цифры 0 и 1.
• Восьмеричная (b = 8): цифры от 0 до 7.
• Десятичная (b = 10): цифры от 0 до 9.
• Шестнадцатеричная (b = 16): цифры от 0 до 9 и буквы A (10) до F (15).

• В двоичной системе число ${\displaystyle 1101_{2}}$ соответствует десятичному числу:

${\displaystyle 1\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+1\times 2^{0}=8+4+0+1=13.}$

• В шестнадцатеричной системе число ${\displaystyle 2F_{16}}$ переводится в десятичное:

${\displaystyle 2\times 16^{1}+15\times 16^{0}=32+15=47.}$

Суммируются произведения цифр на соответствующие степени основания:

${\displaystyle N=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}.}$

Пример: Перевести ${\displaystyle 1011_{2}}$ в десятичную.

${\displaystyle 1\times 2^{3}+0\times 2^{2}+1\times 2^{1}+1\times 2^{0}=8+0+2+1=11.}$

Целую часть числа делят на основание до нуля, записывая остатки в обратном порядке.

Пример: Перевести число 19 в двоичную систему.

${\displaystyle {\begin{aligned}19\div 2=9,\ {\text{ост.}}\ 1\\9\div 2=4,\ {\text{ост.}}\ 1\\4\div 2=2,\ {\text{ост.}}\ 0\\2\div 2=1,\ {\text{ост.}}\ 0\\1\div 2=0,\ {\text{ост.}}\ 1\\\end{aligned}}}$

Запись в двоичной системе: ${\displaystyle 10011_{2}}$.

• Однозначность записи: Каждое число имеет единственную запись в заданной системе счисления.
• Простота вычислений: Легкость выполнения арифметических операций благодаря разрядности.
• Масштабируемость: Увеличение основания уменьшает длину записи чисел.

• Сложение и вычитание выполняются поразрядно с учётом переноса или займа.
• Умножение сводится к последовательному сложению сдвинутых чисел.
• Деление выполняется методом последовательного вычитания или используя алгоритм деления в столбик.

В любой системе счисления нужно уметь представлять не только целые числа, но и дробные. С математической точки зрения это ординарная задача, которая давно решена. Однако с точки зрения компьютерной техники это далеко не тривиальная проблема, во многом связанная с архитектурой компьютера. Ресурсы компьютеров не бесконечны, и основной трудностью является представление периодических и непериодических дробей. Следовательно, такие дроби следует округлять, задавать класс точности участвующих (и могущих появиться в результате вычислений!) чисел без потери точности вычислений, а также следить за тем, чтобы потеря точности не произошла при переводе чисел из одной системы счисления в другую. Особенно важно аккуратно производить вычисления при операциях с плавающей точкой.

Запишем формулу представления дробного числа в позиционной системе счисления:

Ap = an-1·pn-1+an-2·pn-2 + ... + a1·p1+a0·p0 +a-1·p-1+a-2·p-2 + ... + a-m·p-m, [4.1]

В случае десятичной системы счисления получим: 24,732 = 2·101+4·100+7·10-1+3·10-2

Перевод дробного числа из двоичной системы счисления в десятичную производится по следующей схеме: 101101,1012 = 1·25+0·24+1·23+1·22+0·21+1·20+1·2-1+0·2-2+1·2-3=45,625

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:

Вначале переводится целая часть десятичной дроби в двоичную систему счисления;

Затем дробная часть десятичной дроби умножается на основание двоичной системы счисления;

В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве значения первого после запятой разряда числа в двоичной системе счисления;

Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются с предыдущего шага.

Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:

.116 • 2 = 0.232

.232 • 2 = 0.464

.464 • 2 = 0.928

.928 • 2 = 1.856

.856 • 2 = 1.712

.712 • 2 = 1.424

.424 • 2 = 0.848

.848 • 2 = 1.696

.696 • 2 = 1.392

.784 • 2 = 0.784

и т.д.

Получим: 20610=11001110,00011101102

Позиционные системы счисления являются основой современной математики и информатики. Они обеспечивают эффективное и удобное представление чисел, что существенно упрощает вычисления и обработку данных. Понимание принципов позиционных систем необходимо для изучения алгоритмов, программирования и цифровой техники.