Псевдодуга

Непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon [a,b]\to [c,d]}$ из отрезка на отрезок называется ${\displaystyle \varepsilon }$-скрюченным если для любых значений ${\displaystyle t_{1}<t_{2}}$ в интервале ${\displaystyle [a,b]}$ найдутся значения ${\displaystyle t_{1}<t_{2}'<t_{1}'<t_{2}}$ такие, что

${\displaystyle |f(t_{1})-f(t_{1}')|<\varepsilon }$ и ${\displaystyle |f(t_{2})-f(t_{2}')|<\varepsilon }$.

Псевдодугу можно построить как проективный предел последовательности ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$-скрюченных отображений ${\displaystyle f_{n}\colon [0,1]\to [0,1]}$ для подходящей последовательности ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ достаточно быстро сходящейся к нулю.

• Континуум называется змеевидным, если для любого его покрытия найдётся конечное вписанное покрытие ${\displaystyle {U_{i}}}$, ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$ такое, что ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\not =\varnothing }$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle |i-j|\leq 1}$.

• Псевдодуга вкладывается в евклидову плоскость.
• Никакие две точки псевдодуги не могут быть соединены путём,
  • В частности, псевдодуга не содержит жордановых дуг
• Существует область ${\displaystyle \Omega }$ в евклидовой плоскости гомеоморфная диску такая, что каждый нетривиальный собственный подконинуум ${\displaystyle \partial \Omega }$ гомеоморфен псевдодуге.
• Любой нетривиальный подконтинуум псевдодуги гомеоморфен псевдодуге.
• В пространстве всех подконтинуумов куба ${\displaystyle [0,1]^{n}}$, ${\displaystyle n>1}$ с метрикой Хаусдорфа псевдодуги образуют плотное G-дельта-множество.^[1]
• Псевдодуга является единственным с точностью до гомеоморфизма змеевидным наследственно несжимаем континуумом.

Первый пример несжимаемого континуума был построен Брауэром в 1910 году. Вопрос о существовании наследственно несжимаемого континуума был поставлен Куратовским и Кнастером.^[2] Вскоре пример был построен Кнастером^[3].