Принцип Мопертюи

Рассмотрим консервативную голономную систему с энергией ${\displaystyle E}$ и потенциальной энергией ${\displaystyle U}$. Тогда изменение её состояния происходит таким образом, чтобы:

${\displaystyle \int {\sqrt {E-U}}ds=min}$.

Рассмотрим вариацию:

${\displaystyle \delta \int {\sqrt {E-U}}ds=\int \left\{{\sqrt {E-U}}\delta ds-{\frac {\delta U}{2{\sqrt {E-U}}}}ds\right\}=0}$.

Воспользуемся равенствами ${\displaystyle \delta ds={\frac {dx}{ds}}\delta dx}$ и ${\displaystyle \delta U={\frac {\partial U}{\partial x}}\delta x}$.

Получим ${\displaystyle \int {\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx-\int {\frac {\frac {\partial U}{\partial x}}{2{\sqrt {E-U}}}}\delta xds=0}$.

Интегрируя первое слагаемое по частям, получаем:

${\displaystyle \int _{1}^{2}{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx={\Bigl .}{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta x{\Bigr |}_{1}^{2}-\int _{1}^{2}{\frac {d}{ds}}\left\{{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right\}\delta xds}$.

Первый член обращается в нуль вследствие вариаций ${\displaystyle \delta x}$ на концах отрезка интегрирования. Вследствие этого получаем выражение для вариации действия:

${\displaystyle \int \left\{{\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right]+{\frac {1}{2{\sqrt {E-U}}}}{\frac {\partial U}{\partial x}}\right\}\delta xds=0}$.

Подынтегральное выражение должно быть равно нулю вследствие произвольности вариации.

Получаем ${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right]=-{\frac {1}{2{\sqrt {E-U}}}}{\frac {\partial U}{\partial x}}}$.

С учётом равенств ${\displaystyle V={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E-U}}}$, ${\displaystyle dt={\frac {ds}{V}}={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {ds}{\sqrt {E-U}}}}$ получим правильные уравнения движения ${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial U}{\partial x}}}$.

Этим доказывается справедливость принципа:

${\displaystyle \int {\sqrt {E-U}}ds=min}$.^[2]