Преобразования выражений, включающих операцию логарифмирования

Преобразова́ние выраже́ний, включа́ющих опера́цию логарифми́рования — это процесс вычисления логарифмов чисел или выражений. Обратной операцией, при которой по заданным логарифмам восстанавливаются исходные числа или выражения, называется потенцирование.

Способы упрощения выражений с логарифмами

1. Перевести десятичные дроби в обыкновенные. Это может упростить выражение и сделать его более понятным. Например, выражение ${\displaystyle \log _{2}(0,5)}$ можно перевести в ${\displaystyle \log _{2}\!\left({\frac {1}{2}}\right)}$.
2. Перевести смешанные дроби в неправильные. Это позволит увидеть аналогии между функциями, содержащимися в выражении. Например, выражение ${\displaystyle \log _{2}\!\left(2{\frac {1}{2}}\right)}$ можно перевести в ${\displaystyle \log _{2}\!\left({\frac {5}{2}}\right)}$.
3. Разложить числа на множители. Это позволит увидеть сокращения, которые можно использовать для упрощения выражения. Например, выражение ${\displaystyle \log _{2}(12)}$ можно разложить на множители как ${\displaystyle \log _{2}(2^{2}\cdot 3)}$.
4. Привести все логарифмы к одному основанию. Это позволит использовать свойства логарифмов для упрощения выражения. Например, пусть есть два логарифма: ${\displaystyle \log _{2}(16)}$ и ${\displaystyle \log _{3}(16)}$. Чтобы привести их к одному основанию, например 10, можно использовать формулу: ${\displaystyle \log _{10}(16)=\log _{2}(16)/\log _{2}(10)=\log _{3}(16)/\log _{3}(10)}$. Получатся логарифмы с одним основанием, что облегчает их сравнение и использование в дальнейших вычислениях.
5. Воспользоваться свойствами логарифмов для упрощения выражений. Например, свойство ${\displaystyle \log(a^{b})=b\cdot \log(a)}$ можно использовать для упрощения выражения ${\displaystyle \log _{2}(10^{2})}$ как ${\displaystyle 2\cdot \log _{2}(10)}$.

Логарифмирование и возведение в степень — взаимообратные операции. Их свойства аналогичны и вытекают друг из друга.

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество^[1]:

${\displaystyle a^{\log _{a}b}=b}$

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если ${\displaystyle \log _{a}b=\log _{a}c}$, то ${\displaystyle a^{\log _{a}b}=a^{\log _{a}c}}$, откуда, согласно основному тождеству: ${\displaystyle b=c}$.

Логарифмы единицы и числа, равного основанию

Два равенства, очевидных из определения логарифма:

${\displaystyle \log _{a}1=0;\;\log _{a}a=1.}$

Логарифм произведения, частного, степени

Сводка формул в предположении, что все значения положительны^[2]:

	Формула	Пример
Произведение	${\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
Частное	${\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}$	${\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}$
Степень	${\displaystyle \log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$
Степень в основании	${\displaystyle \log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{2^{10}}{\sin {\left({\frac {\pi }{6}}\right)}}={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0{,}1}$
Переход к новому основанию	${\displaystyle \log _{a}(x)={\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}}$ a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, x > 0 ${\displaystyle \log _{a}(b)={\frac {1}{\log _{b}(a)}}}$