Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Решение задач на преобразование выражений предполагает последовательное упрощение данных выражений. При этом используются свойства степеней и формулы сокращенного умножения. В некоторых случаях (при упрощении выражений, содержащих корни или степени с дробным показателем) целесообразно сделать замену переменной. При этом в качестве новой переменной выбирается переменная в степени, знаменатель которой является наименьшим общим кратным знаменателей, а числитель – наибольшим общим делителем числителей в показателях степеней этой переменной. Такая замена позволяет перейти к выражениям, содержащим только целые степени переменных.

• степень равная единице: ${\displaystyle a^{1}=a}$,
• степень равная нулю: ${\displaystyle a^{0}=1}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$,
• возведение в степень не коммутативно (переместительный закон не действует). Поэтому у него имеются две обратные операции: извлечение корня и логарифмирование,
  • Пример: если ${\displaystyle 3^{x}=10}$, то ${\displaystyle x=\log _{3}10}$. Если ${\displaystyle x^{2}=10}$, то ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {10}}}$.
• сложение показателей степени: ${\displaystyle a^{b}a^{c}=a^{b+c}}$,
• вычитание показателей степени: ${\displaystyle \left.{a^{b} \over {a^{c}}}\right.=a^{b-c}}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$,
• Дистрибутивное (распределительное) свойство для возведения в степень: ${\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}}$, ${\displaystyle \left({a \over b}\right)^{c}={{a^{c}} \over {b^{c}}}}$, где ${\displaystyle b\neq 0}$,
• умножение показателей степени: ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}}$.

Преобразование выражений, включающих операцию возведения в квадрат и куб

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$,

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$,

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$,

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$,

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$,

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$,

${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$.

Преобразование выражений, включающих операцию возведения в произвольную степень

${\displaystyle a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}}$,

${\displaystyle {\frac {a^{p}}{a^{q}}}=a^{p-q}}$,

${\displaystyle {(a^{p})}^{q}=a^{pq}=a^{qp}=({a^{q}})^{p}}$,

${\displaystyle (ab)^{p}=a^{p}\cdot b^{p}}$,

${\displaystyle {({\frac {a}{b}})}^{p}={\frac {a^{p}}{b^{p}}}}$.

Необходимо упростить выражение:

${\displaystyle 1-x^{6}(x^{-2,7}-x^{-2,3})(x^{-3,3}+x^{-2,9}+x^{-2,5})}$.

Решение:

Проведём замену переменной на ${\displaystyle y=x^{0,1}}$.

Выражение принимает вид:

${\displaystyle 1-y^{-60}(y^{27}-y^{23})(y^{33}+y^{29}+y^{25})=1-y^{-60}y^{23}y^{25}(y^{4}-1)(y^{8}+y^{4}+1)=1-y^{-12}(y^{12}-1)=1-1+y^{-12}=y^{-12}}$.

Проведём обратную замену и получим ${\displaystyle x^{6/5}}$.

Ответ: ${\displaystyle x^{6/5}}$.