Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени

Преобразование иррациональных выражений предполагает использование общих законов арифметических действий, понятие арифметического корня и его свойств.

Приведённые ниже формулы верны, прежде всего, для арифметических корней любой степени (кроме особо оговоренных случаев). Они справедливы также для корней нечётной степени, у которых допускаются и отрицательные подкоренные выражения^[1].

• Взаимопогашение корня и степени^[2]: 
  • для нечётного ${\displaystyle n}$:    ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a}$,
  • для чётного ${\displaystyle n}$:    ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{n}}}}}=|a|}$.
• Если ${\displaystyle a<b}$, то и ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}<{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}}$.

Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей:

• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{ab}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}}$.

Аналогично для деления:

• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{\frac {a}{b}}}}}={\frac {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}},\;b\neq 0}$.

Следующее равенство есть определение возведения в дробную степень^[3]:

• ${\displaystyle a^{m/n}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}}=\left({\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^{m}}$.

Величина корня не изменится, если его показатель и степень подкоренного выражения разделить на одно и то же число (множитель показателя степени и показатель степени подкоренного выражения):

• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a^{mk}}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}},\;n,k\in \mathbb {N} .}$

Пример: ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}6}]{\color {black}{64}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}{2\cdot 3}}]{\color {black}{4^{3}}}}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}{4}}}}=2}$,

• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}k}]{\color {black}{a}}}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a}}}},\;n,k\in \mathbb {N} }$.

Вынесение множителя из-под знака корня ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n+m}}}={\sqrt[{n}]{a^{n}\cdot a^{m}}}={\sqrt[{n}]{a^{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$, где n ∈ N, n ≥ 2, a ≥ 0.

Внесение множителя под знак корня ${\displaystyle a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}}$, где a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 2.

Приведение подкоренного выражения к целому виду (иррациональность в знаменателе) ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b^{k}}}}={\sqrt[{n}]{\frac {ab^{n-k}}{b^{k}b^{n-k}}}}={\sqrt[{n}]{\frac {ab^{n-k}}{b^{n}}}}={\frac {1}{b}}{\sqrt[{n}]{ab^{n-k}}}}$, где a ≥ 0, b > 0.

Для корней нечётной степени можно указать дополнительное свойство:

• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}}$.

Одним из важнейших тождественных преобразований иррациональных выражений является умножение числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное числителю или знаменателю дроби. Выражение А (A≠0) называется множителем сопряженным выражению В, если произведение АВ не содержит радикалов.

Пример:

Для выражений ${\displaystyle A={\sqrt {x}}\mp {\sqrt {y}}}$ сопряженными будут соответственно выражения ${\displaystyle B={\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}}$, т.к. произведение ${\displaystyle A\cdot B=x-y}$.