Правило Рунге

Интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном 2n. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном 2n, определяется по формуле Рунге:
${\displaystyle \Delta _{2n}\approx \Theta |I_{2n}-I_{n}|}$, для формул левых и правых прямоугольников ${\displaystyle \Theta =1}$, для формул средних прямоугольников и трапеций ${\displaystyle \Theta ={\frac {1}{3}}}$, а для формулы Симпсона ${\displaystyle \Theta ={\frac {1}{15}}}$.^[2] В общем случае ${\displaystyle \Theta ={{1} \over {2^{p}-1}}}$. Под ${\displaystyle p}$ понимается порядок погрешности использованного численного метода.

Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов ${\displaystyle N=n_{0},2n_{0},4n_{0},\dots }$, где ${\displaystyle n_{0}}$ — начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения N будет выполнено условие ${\displaystyle \Delta _{2n}<\varepsilon }$, где ${\displaystyle \varepsilon }$ — заданная точность.

Также применяется для оценки точности решений обыкновенных дифференциальных уравнений на регулярных сетках. Для оценки требуется решить задачу на 2 сетках, один раз с шагом h (${\displaystyle y_{i,h}}$) и второй — с шагом h/2 (${\displaystyle y_{i,h/2}}$). Формула^[3]

${\displaystyle {|y_{i,h}-y_{i,h/2}|} \over {2^{p}-1}}$

дает погрешность решения ${\displaystyle y_{i,h/2}}$. Под ${\displaystyle p}$ понимается порядок точности использованного численного метода. Например, для численного метода, имеющего четвёртый порядок точности, формула принимает вид:

${\displaystyle {1 \over 15}|y_{i,h}-y_{i,h/2}|}$